2 (11)

76

4. Ciągłość

w

odwzorowanie f jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy każda z funkcji f_u..., fjest ciągła. I b) Jeśli figsą ciągłymi odwzorowaniami przestrzeni X w B?, to f+g i f‘g ^S(ł

Funkcje f_lt..., f_k nazywamy składowymi funkcji f. Zau niem w R^k, podczas gdy f • g jest funkcją rzeczywistą na X.

Dowód. Teza a) wynika z nierówności

< \M-M = {EMM-/WP

i-1    >

dla j = 1,... _t k. Teza b) wynika z a) i twierdzenia 4.9.

4.11. Przykłady. Jeśli x_lt..., X* są współrzędnymi punktu xejR*,to funkcje <p_h obr ślone przez

<pfa) - X_t (X 6 R^k),

możemy przyjąć 5 = e. Funkcje g?_{ nazywamy czasem funkcjami współrzędnych. Z powtórnego zastosowania twierdzenia 4.9 wynika, że każdy jednomian

gdzie .......... są nieujemnymi liczbami całkowitymi, jest ciągły na R^k.

To samo jest prawdziwe dla funkcji różniącej się od (9) stałym czynnikiem. Stąd każdy wielomian P, dany przez

(10) jest ciągły na R^k. Tutaj współczynniki c_{H Kt} są liczbami zespolonymi, n_l9 ..., n* — liczbami całkowitymi nieujemnymi, a suma składa się ze skończonej ilości składników.

Dalej, każda funkcja wymierna zmiennych AjgW, x_k, tj. każdy iloraz dwóch wielomianów postaci (10), jest ciągła na R^k wszędzie, gdzie mianownik jest różny od zera.

Z nierówności trójkąta łatwo otrzymujemy, że

(11)

||x|-|yl| <    <x,yeK*).

Stąd odwzorowanie x-»|x| jest ciągłą funkcją rzeczywistą na R^k.

Jeśli f jest ciągłym odwzorowaniem przestrzeni metrycznej X w przestrzeń 2?* i jeśli ?>jest określone na X równością <p(p) - |f(p)|, fo z twierdzenia 4.7 wynika, że <p jest ciągłą funkcją rzeczywistą na X.

4.12. UWAGA. Zdefiniowaliśmy ciągłość dla funkcji określonej na podzbiorze E przestrzeni metrycznej X. Jednak uzupełnienie zbioru E w X nie odgrywa żadnej roli w tej definicji, w odróżnieniu od definicji granicy funkcji. Tym samym możemy mówić o ciągłych odwzorowaniach jednej przestrzeni metrycznej w drugą (a nie o odwzorowaniach podzbio-