CCF20090120034

brę jako jakąś rozległą dżunglę splątanych chaszczy, wśród których błąkają się bez mapy i bez kompasu. Znacznie praktyczniej jest myśleć, że algebra (a raczej ta jej część, którą powinniśmy znać) to pół tuzina metod i dwadzieścia, czy coś koło tego, wzorów, z których prawdopodobnie pamiętamy ok. 60%. Nie ma także potrzeby powtarzać wszystko na raz. 'Przypuśćmy np., że mamy trudności z rachunkiem różniczkowym, bo nie przerobiliśmy dostatecznie dwumianu Newtona. Należy wówczas wziąć podręcznik algebry, i popatrzeć pod „dwumian Newtona”. Na razie nie kłopoczmy się dowodem. Najpierw musimy zdać sobie jasno sprawę, czego rzecz właściwie dotyczy. Pełno tam symboli, takich jak (”) . Wyjaśnienie tych oznaczeń znaduje się w rozdziale o permutacjach i kombinacjach.

I znów nie zajmujemy się dowodami. Sprawdzamy, co oznaczają użyte symbole. Rozwiązujemy kilka przykładów, np. (j),    , (|) . Prze

rabiamy je porządnie, na liczbach. Wracamy te^ raz do dwumianu i przerabiamy jakieś konkretne przykłady. Niech np. n = 4 ¹. Wzór na dwumian dotyczy wyrażenia (x+a)ⁿ. Niechaj x — 10, zaś a — 1. Obliczamy ll², li³, ll⁴. W jakim związku pozostaje ll⁴ do wielkości obliczonych poprzednio? Wykonujemy mnożenie: 101 • 101 101 -101 -101.

Co możemy zaobserwować dla 11¹11 i dla 101 ¹ 101? A dla 11 ■ 11 • 11 i dla 101 ¹ 101 ¹ 101? I tu, i tam występują te same cyfry? A czy po wy mnożeniu 1001 • 1001 wystąpią takie same cyfry jak w przypadku 11¹11? Przy 1001 • 1001 • ♦ 1001 takie same, jak przy 11 • 11 • 11? Tak? W takim razie Czytelnik jest bardzo blisko samodzielnego odkrycia wzoru na dwumian. (Ale jeżeli nie bardzo wie, co oznacza ll⁴, wówczas powyższe zdania były dla niego niezrozumiałe. Znaczenie wyrażenia ll⁴ będzie wyjaśnione w rozdz. 6.).

W taki to sposób — zawracając raz po raz po własnych tropach — dojdziemy do opanowania tych partii algebry, które są konieczne do rachunku różniczkowego. Teraz wiemy już przynajmniej, co to jest dwumian Newtona, wiemy również — jeśli nawet nie potrafimy tego udowodnić — jak bardzo jest on przydatny przy obliczaniu (1001)⁴. Słuchając zaś, jak jakiś wykładowca wspomina o dwumianie, lub widząc wzmiankę o tym w jakiejś książce, potrafimy zrozumieć, do czego wzór ten jest wykorzystywany. A kiedy uczeń będzie już zupełnie obeznany z istotnym znaczeniem dwumianu i płynącymi zeń pożytkami, wtedy, być może, warto będzie przestudiować sobie dowód. (W niektórych podręcznikach dowód ten przedstawiony jest bardzo mętnie. Należy poszukać książki, która daje dowód zwięzły i trafiający do przekonania.)

CZYTANIE W OKREŚLONYM CELU

Dopiero co posłużyliśmy się w pewien szczególny sposób podręcznikiem algebry, użyliśmy go w określonym celu. Nie zamierzaliśmy przeczytać całej książki. Nie zwracaliśmy uwagi na żadne jej rozdziały prócz tych, które były nam potrzebne do zrozumienia dwumianu. Ktoś mógłby powiedzieć, że cel to nie nazbyt ambitny; ale lepszy taki niż żaden. Wiele osób dziwiłoby się widząc, o ile sensowniejsze stają się podręcz-

71

1

Jeśli Czytelnik miał szczęście i nigdy dotąd nie uczył się algebry, a wobec tego jest wolny od błędnych wyobrażeń na jej temat, powinien pominąć cały ten ustęp. Sens oznaczeń algebraicznych znajduje się w rozdz. 7.