CCF20090120148

DODAWANIE

Jak ókreślić znaczenie operatora 2 + 3 albo 2 +( — 3)? Moglibyśmy powiedzieć po prostu, że 2 + 3 to j est 5, a 2 + (— 3) to — 1; tzn. moglibyśmy użyć zwykłej arytmetyki dla określenia dodawania operatorów. Byłoby to jednak o tyle niewygodne, że gdybyśmy rozpatrywali i, oznaczenie, które nie odpowiada żadnej zwykłej liczbie, nie wiedzielibyśmy, co przyjąć za 1 Hi.

Lepiej jest więc skorzystać z innej metody, która równie dobrze będzie się stosowała do takich operacji, jak i, zgadzając się przy tym z pierwszą metodą dla operatorów odpowiadających zwykłym liczbom.

Przypuśćmy, że na początku wisiorek A znajduje się w punkcie P. Niech Q będzie punktem, do którego wysyła wisiorek A operacja 2, R punktem, dO' którego wisiorek A wysyła operacja 3, a S punktem, do którego wisiorek A wysyła operacja 5. Wówczas OQ — 2 • OP, OR — 3 • OP, OS ~ 5 ■ OP. (OP jest odległością punktu P od O; 2, 3, 5 są zwykłymi liczbami; w równościach tych nie ma żadnych operatorów.) Jest oczywiste, że OS■= OQ+OR, tak że położenie punktu 5 moglibyśmy znaleźć odkładając odcinki o długościach OQ i OR tak, aby stykały się końcami.

W ten sam sposób moglibyśmy znaleźć wynik operacji 2 +(—3). Trzeba przy tym pamiętać, że operacje 2 i — 3 kierują O A w przeciwnych kierunkach: gdy odkładamy odcinki tak, aby stykały się końcami, to musimy to zrobić w ten sposób, aby drugi odcinek skierowany był w przeciwnym kierunku niż pierwszy odcinek. Wyjaśnia to ryc. 52.

Doszliśmy więc do następującej definicji dodawania: jeżeli operacja x wysyła A z punktu P do Q, a operacja y wysyła A z punktu P do ft, to x+y określamy jako operację wysyłającą A

do S, gdzie S jest punktem otrzymanym przez odłożenie odcinków OQ i OR tak, aby stykały się końcami.

n    $

_>_I * I ²+³ = ⁵

S|----*

oi-

s

2 + (—3) = -1

-2-H3 - 1

s

<■

i o

⁰    -i2 + ( —3) — —5

<-'

Hyc. 52

Zamiast pisać 2 +( — 3), możemy pisać krócej 2 — 3. Trzeba jednak rozróżniać 2 — 3 i (2) (“3). (2) ( — 3) oznacza, że operację 2 należy zastosować do wyniku operacji —3 działającej na A.

Znaleźliśmy zbiór operatorów, które całkowicie odpowiadają zwykłym liczbom: można je mnożyć i dodawać, a wyniki wyglądają zupełnie tak samo, jak wyniki dla zwykłych liczb, z tym jednym wyjątkiem, że wyniki dla operatorów drukowane są grubą czcionką. Gdybyśmy natrafili na kartkę z rachunkami dotyczącymi tych operatorów, moglibyśmy pomyśleć, że są to przykłady z arytmetyki elementarnej pisane przez kogoś, kto bardzo mocno przyciskał pióro; nie byłoby sposobu na odróżnienie jednych od drugich.

OPERATOR i

Wynikiem operacji —1 jest zmiana kierunku O A bez zmiany długości; a więc —1 obraca O A o 180°.

Czy można znaleźć operację i taką, aby i² = = —1? i² oznacza, że operację i wykonano dwu-

299