CCF20090120154

póki nie okaże się, że szereg 1 + 2 — 2— — 7—...

oraz szereg 3 + 6 + 1—...

zbiegają do stałych war

tości, gdy bierze się dostatecznie dużo wyrazów. Szeregi te będą także bezużyteczne, jeżeli okaże się, że są one „niebezpiecznymi szeregami” w rodzaju opisanych w rozdz. 14.

W rzeczywistości te dwa szeregi są bardzo „porządne” i godne zaufania. Dalsze wyrazy sze

24’ 120"

regu dla e^x zawierają takie liczby, jak

'zrr, które szybko stają się bardzo małe; w pew-

i Z u

nym miejscu dalsze wyrazy praktycznie nie liczą się w porównaniu z sumą szeregu. Reguła, za pomocą której tworzy się liczby w szeregu dla e^x, jest następująca: 6 — 1*2-3,24 = 1 • 2 • 3 • 4 itd. 120 jest równe 5 razy 24; 720 jest równe 6 razy 120. Im dalej posuwamy się, tym szybciej maleją wyrazy szeregu.

Można dowieść, że szereg dla e^x jest „porządny” (w języku matematyków: jest zbieżny), bez względu na to, jakie jest x. A zatem jeżeli x = = a+ib, to nie ma znaczenia, jak wielkie są liczby a i b: szereg będzie zawsze zbieżny. Jeżeli a i b są liczbami dużymi, to musimy wziąć dużą liczbę wyrazów, zanim otrzymamy dobre przybliżenie dla e^a+ib; a ponieważ -nasz szereg określa e^x, więc mamy logiczną podstawę, na której opieramy się.

W rzeczywistości, aby znaleźć e^a+ib, lepiej jest postąpić w sposób następujący: e^a+ib — e^a ■ e^lb = =e'^a(cos b+i sin b). Operatory a i b odpowiadają zwykłym liczbom a i b. Wielkości e^a, cos b i sin b możemy znaleźć w tablicach. Ale to postępowanie jest możliwe dopiero po udowodnieniu (za pomocą szeregu dla e^x), że e^x ma wszystkie własności zwykłej funkcji e^x, tak że przeprowadzone wyżej kolejne kroki są uzasadnione. Jeżeli nasza definicja operatora e^x za pomocą szeregu nie jest niewzruszona, to nie możemy mieć zaufania do wyników z niej uzyskiwanych.

Matematycy zostali więc zmuszeni do badania zbieżności szeregów, w których występują liczby zespolone. Zajmowali się oni także tym, jady

kie znaczenie można nadać symbolowi ^, gdy x i y są liczbami zespolonymi.

Widzieliśmy już, że użycie symbolu i pozwala nam wykazać ścisły związek pomiędzy e^x, sin x i cos x; związek ten jest zaskakujący, gdyż na pierwszy rzut oka e^x wydaje się bardzo różne od sin x i cos x. Widzieliśmy także, że ten związek ma praktyczne zastosowanie, gdyż pomaga nam zrozumieć rozwiązanie wielu zagadnień dotyczących sinusa i cosinusa.

Dalsze badania nad liczbami zespolonymi rzucają również światło na wiele zagadnień dotyczących zwykłych liczb. W istocie teoria liczb zespolonych jest jednym z najpiękniejszych i najbardziej pouczających działów matematyki. Zajmując się nią, mamy takie uczucie, jakby nas wzięto za kulisy: z łatwością i natychmiast możemy zrozumieć źródła wyników, które poprzednio wydawały 'się zupełnie przypadkowe. Jest to dziedzina, w której rachunek odgrywa małą rolę: uzyskiwane w niej wyniki przybierają często postać, którą można pojąć i zapamiętać, tak jak zapamiętuje się dobrze zrobiony plakat. Ponieważ przedmiot ten umożliwia nam ujrzenie głębszego sensu wielu zaigadnień praktycznych, ma on wielkie znaczenie dla matematyki stosowanej.

Nikt nie mógł przewidzieć, że badanie symbolu i doprowadzi do tak przydatnych rezultatów, podobnie jak pierwsi ludzie bawiący się magnesami i jedwabiem nie mogli przewidzieć

311