Cialkoskrypt7

52 1. Pojęcia podstawowe

Rozwiązanie

Sumę wydajności wszystkich objętości elementarnych pewnej przestrzeni V można przedstawić za pomocą całki:

3v_x    3v    3v

3x    3y    3z

dxdydz [m³/sj.

(p = JJjdiv vdxdydz = jj

v    v*

Pochodne cząstkowe przyjmują postać:

v_x = axy

v = ayz

v, = azx

3v

3x

3v_y

3y

3z

- = ay,

= az,

■ = ax,

dlatego po podstawieniu uzyskamy całkę w postaci: tp = a jJJ(x + y + z)dxdydz .

Granice całkowania zmieniają się w przedziałach:

0<x<a, 0<y<b, 0<z<c, co pozwala na zapisanie całki względem objętości w postaci:

a b c

<P=« H j J(x + y + z)dz o i.oLo

a ^b f    \

= “J) j^c| x + y+-jjdy

0 _0

dyldx=af fi xz + yz + —

j o^J[o^Jl 2

a f    2

fi y c dx = ccc j xy + — + — y

o v

dy

dx =

dx =

b² cb^¹ xb + — + —

2 2

= acj

0

Ostatecznie otrzymamy:

dx = abc

( i .    >

' x b c — + —x + —x ^ 2 2 2,

= abc

^a²    ba ca ,

--1---1--.

V 2    2    2

<p = ot JJJ(x + y + z)dxdydz = a-^- (a + b + c).

2

STATYKA PŁYNÓW

2.1. Siły powierzchniowe

Statyka zajmuje się prawami, jakim podlega ciecz pozostająca w równowadze. W stanie równowagi względnej cząstek cieczy zasadnicze różnice pomiędzy cieczą doskonalą a cieczami rzeczywistymi zanikają. Dlatego nasze rozważania odnoszą się zarówno do cieczy doskonałej, jak i do cieczy rzeczywistych.

Na dowolny element cieczy pozostającej w spoczynku działają siły powierzchniowe i siły objętościowe (masowe). Siła powierzchniowa jest skierowana prostopadle do dowolnie zorientowanego w przestrzeni elementu powierzchniowego, przy czym wektor reprezentujący tę siłę jest zwrócony ku rozpatrywanej powierzchni elementarnej. Ponieważ siły powierzchniowe działające na element płaski są zwrócone ku temu elementowi, przeto naprężenia występujące w spoczywającej cieczy są zawsze ciśnieniem.

Prawo niezależności ciśnienia od orientacji elementu powierzchniowego (prawo Eulera)

Ciśnienie działające w dowolnym punkcie cieczy pozostającej w spoczynku jest niezależne od orientacji przechodzącego przez ten punkt elementu powierzchniowego, do którego wektor ciśnienia jest prostopadły. □

Prawo Pascala

Gdyby na ciecz działały tylko siły powierzchniowe, to ciśnienie miałoby jedną i tę samą wartość w każdym punkcie cieczy. □

Prawo to jest również nazywane prawem równomiernego zachowania się ciśnienia w cieczy.

Siły powierzchniowe styczne z uwagi na względny lub bezwzględny stan spoczynku są równe zeru.