Cialkoskrypt!3

424 6. Zadania różne

424 6. Zadania różne

przeto

<J> = pg-z_s • V = p_s • V = (pV)• g• z_s =m-g-z_s = Gz_s,

gdzie p_s jest ciśnieniem hydrostatycznym wywołanym przez ciężar słupa cieczy o wysokości z_s. Wymiar ciśnienia p_s wyraża iloraz:

' N '		N • m		" J '
2				_3
Lm J		Lm • mj		Lm J

[p_s] =

Choć formalnie jednostką podstawową ciśnienia jest [Pa] = [N/m²], to jak powyższe przeliczenie wskazuje, jednostka ta jest równa [J/m³], czyli energii odniesionej do jednostki objętości (energii związanej z ciśnieniem). Wiadomo, że energia potencjalna płynu zawarta w objętości V jest równa energii potencjalnej masy płynu umieszczonej na wysokości z_s. Wyznaczmy zatem położenie środka ciężkości objętości V znajdującej się w odległości H od płaszczyzny.

Objętość zbiornika wyraża się wzorem:

H+h

V=j*A(z)-dz= JVtr²(z)-z.

Ponieważ równanie paraboloidy obrotowej i stożka można wyrazić jednym wzorem z parametrem a (a = 2 - paraboloida obrotowa, a = 1 - stożek): z = H + a-r°\ stąd

r =

- H')

l/a

a )

więc

H + h

v= J

z-H

dz = 7t*| —)

2/a H+h

2)

H+h

| (z-H)^2/a

dz =

2/<x

= TZ

1

i₊!

a

(z-H)

2/a+l

\2/a

= 71- -

a

a + 2

2+a/a

Z równania powierzchni zbiornika: z = h + a • r^a wyznaczmy parametr a. W punkcie z = H + h, r = D/2 zachodzi związek H + h = H + a ■ (D / 2)“, stąd a = h • (D / 2)~^a,

zatem równanie powierzchni zbiornika ma postać z = H + (2r/D)^a. Wobec tego objętość wyraża się wzorem:

a ttD"

1 \^2/tt rv

V — TC • I — I •—-h^l+2/a

a) a + 2 ł 7tD²

■h =

2    4

1 7lD²

a + 2    4

13    4

Wyznaczmy teraz położenie środka ciężkości:

• h dla a = 2 (paraboloida) •h dla a = l (stożek).

1 1

z,=- l^z'^{dv =} v l^z'^A(^r)'^{dz =} V J

H

, , \2ł<x. H+h

•^dZ=v(a) i<^Z-^H)²'“'^Z'^dŁ

H+h f _u \2/a

z — ri

a-J

Po podstawieniu (z — H)^2/a = u , z = H + u^a/“ i dz = a/2-u¹*⁷"'¹ -du otrzymujemy h²⁷*¹:

z	H	H + h
u	0	h^2/“

• Ju.(H + u-).V».du =

/ , \2/a h^2/a

V {(X a-n ( 1

2V la

a-n [ 1

2V la

o

2/a h^2/a

| (H-u^a/2 +u^a)du =

2/a

H

1 +

a

a/2+l .    a+l

U H---U

a + l

V

a-n f 1 ~2V~ ia, a a+2 f 2

_h 1+2 / a T _—?— . |-[ _)--L_ . _h | ₌

V 2 + a a + l

„    ¹ J ,T    ^{a + 2} u

H +-h = H + —-- ■ h

2 a 1^2 + a** a + l"J * 2(a + l) Dla paraboloidy obrotowej a = 2, a dla stożka a = 1, więc

Z_S.par.=H + |h, Z,_Mta=H+ih.