DSC07310

42

Wielomiany

c) Podstawiając w rozważanym równaniu u* = z³ otrzymamy równanie kwadratowe ur*ł-5« + 4 = 0. Rozwiązaniami tego równania są wi = -1 oraz u/a = —4^ Pierwiastki, wyjściowego równania są zatem rozwiązaniami równań z¹ = — l. z³ = —4. Stąd zi =

22 = i* = —2*, zą=2L

dl Podstawiając w rozważanym równaniu w = z³ otrzymamy równanie kwadratowe

30-16*

a-² - 30w -f 289 = 0. Rozwiązaniami tego równania są u/i = -^—- — \P' — ^{01 oraz}

tej = ^ — = 15 -f 8*. Pierwiastki wyjściowego równania są zatem rozwiązaniami | równań z³ = 15 - Si, z³ = 15 + 8i. Stąd zi = 4 — *, zi = —4 + i, -3 = 4 + i, z* = •”4 —».

Zasadnicze twierdzenie algebry • Przykład 2.6

Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych, znaleźć ich pozostałe pierwiastki:

a)    H’(z) = x⁴ 4- 2x³ + 5x* + 6x + 6, x\ == — 1 + i;

b)    W(x\=x^s —5x⁴ -1- lSr³ — l&zr + 17x —13, x\ = 2 — 3i,    = i.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie: jeżeli liczba zespolona xq jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to xq także jest pierwiastkiem tego wielomianu.

s) Z twierdzenia tego wynika, że skoro x\ = — 1 + i jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego x⁴ + 2x³ + 5x² -f 6x + 6, to także liczba x₂ =zi = -1 —i jest pierwiastkiem lego wielomianu. Z twierdzenia Bezout wynika, że rozważany wielomian jest podzielny przez wir kimon

(x-xi)(x-X2)= fr — (-1 + i)j [x — (-1 — i)] = x³ + 2x + 2.

Dorsz z dzielenia wielomianów

(x⁴ + 2x* + 5Z³ + 6x + 6) : (z⁷ + 2x % 2)

jat wirinmianem X³ + 3. Pierwiastkami tego wielomianu są liczby x₃ = y/Zi. xą = —>/5i. b) Skoro liczby r_; = 2 — 3t oraz zj = i są pierwiastkami wielomianu rzeczywistego, to także liczby x* = xi = 2 + 3i oraz    = ag = -i są jego pierwiastkami. Z twierdzenia

Bezout wynika, że wielomian X⁵ - 5x⁴ + 18z³ - 18x² + 17x — 13 jest podzielny przez wielomian

(x-x₁)^-xs)(x-x_a)(x-x₄) = [x — (2 — 3i)| [x — (2 + 3i)| (x — t)[x + i)

= (**-4x+13)(x³+l)

= a5⁴-4x^a + 14x³-4x + 13.

Ilorazem z dzielenia wielomianów

(** - 5x« + tó«* - 1&? +17* - 13) : (x« - 4** + 14*^J - 4* + 13)

Przykłady

43

jest wielomian x — l. Pierwiastkiem wielomianu x — l jest oczywiście x& = L Uwaga. Dla tego wielomianu końcowe obliczenia można uprościć próbując znaleźć pierwiastki całkowite wśród podzielników wyrazu wolnego ao = —13, tj. wśród liczb: l. — 1. 13. -13.

Przykład 2.7

Nie wykonując dzieleń znaleźć reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q, jeżeli:

a)    P(x) = x¹⁰ +1² - 2, Q(x) = i³ - 4x;

b)    P(*) = x*+5x³ + l, Q(x) = x³-2x + 2.

Rozwiązanie

a)    Reszta z dzielenia dowolnego wielomianu przez wielomian stopnia 3 jest wielomianem stopnia ^ 2. Niech poszukiwana reszta ma postać R{x) = ax² -f 6r + c, gdzie a, 6, c € R. Wtedy P(x) = /(x) - Q(x) -f R(x), gdzie / jest ilorazem z dzielenia tych wielomianów. Zatem

x¹⁰ + x^a-2 = /(x) • (x³ — 4x) + ox^a + fcr + c

dla każdego x € C. Podstawiając w tej tożsamości pierwiastki wielomianu x³ — 4x, tj. liczby x\ = 0, xa = —2,    = 2, otrzymamy układ równań

f "²=    9

< 1026 = 4a-26 + c,

11026 = 4a + 26 + c.

Rozwiązaniem tego układu równań jest trójka a = 257, 6 = 0, c = —2. Zatem reszta z dzielenia tych wielomianów ma postać 257x^a — 2.

b)    Reszta z dzielenia dowolnego wielomianu przez wielomian stopnia 2 jest wielomianem stopnia $ 1. Niech poszukiwana reszta ma postać R(x) = ar + 6, gdzie a, 6 € R. Wtedy P(x) =/(x) - Q(x) + P(x), gdzie / jest ilorazem z dzielenia tych wielomianów. Zatem

x® + 5x³ + l = /(x) (x³ — 2x + 2) + ax + 6

dla każdego x € C. Ponieważ pierwiastki wielomianu z² — 2x + 2, tj. liczby Xi = 1 + i, xa = 1 - i. nie są liczbami rzeczywistymi, więc w ostatniej tożsamości wystarczy podstawić tylko jeden z tych pierwiastków np. Xi. Wtedy otrzymamy równość

(l + »)* + 5(1 + 0* +1 = o(i + i) + b.

Stąd 7-I- lOt = (a+6) +ai. Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron tej równości otrzymamy układ równań

f a + 6 = 7,

||p =ia

Rozwiązaniem tego układu równań jest para a = 10, 6 = —3. Zatem reszta z dzielenia tych wielomianów ma postać lOz — 3.

Przykład 2.8

Podać przykłady wielomianów zespolonych najniższego stopnia, które spełniają