kolokwium I 15 2016

Kolokwium nr 1 z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2015/2016

Zad.l. [ 7p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 J

Wykazać, że pole wektorowe

.z    x    y

yz + Iny H— , xz + mz-\— , xy + lnx + -x    y    z

F{x,y,z) =

jest potencjalne. Wyznaczyć potencjał tego pola a następnie obliczyć całkę

! (yz + lny 4- —^ dx + ^xz + ln z + -''j dy + (xy + lnx dz

gdzie luk L : x ^V—z² -f 3z — 2, y = z + 1 dla z G [1, 2].    ^

Zad.2.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć f X\J 1 + y dl , gdzie L jest krzywą określoną parametrycznie wzorami x(t) = 21n t i

L

y(t) = ln²1 dla t G [1, ej.

Zad.3.    [ 2p-!-6p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 ]

a)    Sformułować twierdzenie Greena.

b)    Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć J (x² — y³) dx + (a:³ + y²)dy , gdzie luk L jest

L

okręgiem x² + y² = 9, zorientowanym ujemnie względem swego wnętrza.

Zad.4.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 ]

Wyznaczyć równanie prostej normalnej i płaszczyzny prostującej do krzywej

r(t) = [t + sin t, t — cos i, t + 1]

w punkcie odpowiadającym to — 0.

Zad.5.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

Wykazać, że krzywa L : {x = y² — 1, z = 2y² + y — x} jest płaska. Wyznaczyć równanie płaszczyzny, w której leży.

1