Rzuty mongea119

7. KRZYWE STOPNIA DRUGIEGO

Przedmiotami dalszych rozdziałów będą utwory trójwymiarowe niepła-skościenne, zwane powierzchniami.

Będą to takie powierzchnie, które najczęściej występują w technice i które matematyka opisuje równaniami stopnia drugiego. Noszą one nazwę powierzchni stopnia drugiego; nazywa się je także kwadrykami.

Najprostszy „geometryczny" opis powierzchni stopnia drugiego mówi, że jest to powierzchnia, którą dowolna płaszczyzna przecina (jeżeli przecina) w krzywej stopnia drugiego.

Ponieważ krzywe stopnia drugiego posłużą również do tworzenia kwa-dryk, więc w pierwszej kolejności te krzywe zostaną tu omówione. Sa to: elipsa, parabola i hiperbola.

Aby nie powtarzać dość długiej nazwy „krzywa stopnia drugiego", zamiennie będzie tu używany jej matematyczny symbol c².

Dla opisania krzywych c² geometria wykreślna nie wykorzystuje bezpośrednio ich matematycznych równań, ale korzysta z graficznych właściwości krzywych, które z tamtych równań wynikają.

Każda z krzywych c²jest krzywą płaską, którą dowolna prosta przecina co najwyżej w dwóch punktach. Niektóre z krzywych c² (parabola, hiperbola) zawierają jednak takie punkty, które nie zaistniały tu wcześniej, bo nie mieściły się w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa. Są to tzw. punkty niewłaściwe.

Konieczne jest zatem wcześniejsze przybliżenie czytelnikowi umowy związanej z elementami niewłaściwymi.

7.1. Elementy niewłaściwe

W dotychczasowych rozważaniach położenie punktu w przestrzeni praktycznie nie miało znaczenia. Wszystkie dotąd używane (wykorzystywane) punkty były w przestrzeni „dostępne” w tym sensie, że znajdowały się w skończonych, mierzalnych odległościach od miejsca ich odwzorowania. Były to tzw. punkty właściwe. Punktami niewłaściwymi nazywa się te punkty, które umownie znajdują się w nieskończoności. Symbolem nieskończoności jest °°. Niewłaściwy punkt P będzie opisywany symbolem P*.

Pojęcie punktu niewłaściwego może przybliżyć przykład pojedynczej prostej: istnieje na niej nieskończenie wiele punktów właściwych i jeden punkt niewłaściwy. Dlaczego jeden, a nie dwa?

Istnienie na prostej jednego punktu niewłaściwego można uzasadnić logiką przecinania się w jednym punkcie dwóch prostych leżących w jednej płaszczyźnie. Na rys. 55a proste a i b przecinają się w jednym punkcie właściwym P. Logiczne jest więc pytanie, dlaczego równoległe proste p i q z rys. 55b też nie miałyby się przecinać w jednym punkcie?

Różnica między tymi dwoma punktami jest taka, że P jest punktem właściwym (rys. 55a), natomiast punkt przecięcia się prostych równoległych p i q jest punktem niewłaściwym N°°.