Rzuty mongea146

89

Płaszczyzna ip - równoległa do płaszczyzny p (rys. 82b) - przecina prawie wszystkie tworzące stożka w punktach właściwych, z wyjątkiem jego jednej tworzącej d (bo jest do niej równoległa). Tworząca d jest więc przecinana przez w punkcie niewłaściwym, czyli krzywa c² przekroju płaszczyzną ip posiada jeden punkt niewłaściwy. Jest to więc PARABOLA (jej rzut poziomy to pogrubiony fragment półprostej rzutu ip').

Płaszczyzna cj - przyjęta (rys. 82c) równolegle do płaszczyzny y - przecina wszystkie tworzące stożka: prawie wszystkie w punktach właściwych i dwie z nich (e i f) w punktach niewłaściwych (bo jest do nich równoległa). A więc krzywa c² przekroju powierzchni płaszczyzną oj posiada nieskończenie wiele punktów właściwych i dwa punkty niewłaściwe. Jest to więc HIPERBOLA (jej rzut poziomy to pogrubione fragmenty półprostych rzutu to’ -dwa fragmenty, bo dwie gałęzie hiperboli znajdują się po przeciwnych stronach wierzchołka W).

Ponieważ każdą z trzech możliwych krzywych c² określa się innymi elementami geometrycznymi, więc dla rozwiązania konkretnego przekroju konieczne jest uprzednie ustalenie rodzaju krzywej przekroju.

Rodzaj krzywej ustala się za pomocą tzw. płaszczyzny granicznej, czyli płaszczyzny, która przechodzi przez wierzchołek W i jest równoległa do zadanej płaszczyzny tnącej. Na rysunkach 82a,b,c płaszczyzny a, p i y sa^ zatem płaszczyznami granicznymi dla równoległych do nich płaszczyzn tnących: ó, i|i i oj.

Ponieważ przekroje powierzchni stożkowej w paraboli lub hiperboli rzadziej występują w zastosowaniach technicznych, więc przekroje te nie będą tutaj ilustrowane.

Wracając do rys. 81 - przykładowo rozwiązano na nim przekrój powierzchni stożkowej płaszczyzną o nieprzechodzącą przez W. Aby wstępnie rozstrzygnąć, jaki rodzaj krzywej c² będzie przekrojem, przez wierzchołek W wprowadzono - równolegle do cr - graniczną dla niej płaszczyznę a.

Ponieważ płaszczyzna a ma ze stożkiem (por. rys. 82a) tylko jeden punkt wspólny W, więc równoległa do niej płaszczyzna tnąca a przecina powierzchnię stożka w elipsie.

Wiedząc, że przekrojem jest elipsa, konstrukcyjnie poszukuje się elementów geometrycznych określających tę krzywą, czyli jej średnic sprzężonych.

Rzutem poziomym elipsy przekroju (leżącej na płaszczyźnie o) jest pogrubiony na rys. 81 odcinek C'D' rzutu a' (zawarty pomiędzy tworzącymi konturowymi rzutu c' i d').

Uwaga: W poszukiwaniu średnic sprzężonych elipsy przekroju powierzchni stożkowej nie można się odwołać do związku tej elipsy z okręgiem kierującym - takiego samego, jaki miał miejsce przy przekroju powierzchni walcowej. W przypadku stożka ten związek jest bardziej złożony i dlatego, aby nie komplikować wywodu, warto skorzystać z innego sposobu konstruowania średnic sprzężonych elipsy.

Wykorzystuje się do tego właściwości średnic sprzężonych elipsy opisane w podrozdziale 7.2 (rys. 56).