rpism1ig

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA -

ĆWICZENIA IB.

ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO (fi - ZBIÓR NIESKOŃCZONY)

ZAD.l. Wiedząc, Ze o-ciało zdarzeń losowych X jest domknięte ze względu na operacje dopełnienia zbioru i przeliczalnej sumy zbiorów (patrz wykład) udowodnić własności:

a)    przeliczalny przekrój (iloczyn) zdarzeń losowych jest zdarzeniem losowym;

b)    A \ B g Z dla dowolnych A, B <= JT.

ZAD.2. Wiedząc, żecr-ciało zbiorów borelowskich .^*(1R) jest generowane przez klasę ograniczonych przedziałów otwartych wykazać, żc:

3) (-4,oo)e.^(K);

b)    (-cc,3)€.#(R);

c)    (5) g ;

d)    (-oo,2> e J#(K).

ZAD.3. Udowodnić własności:

a)    P(A^r) = 1 - P(A) dla dowolnego A € 3?;

b)    P(R \A) = P(B) - P(A r\ B) dla dowolnych A,łi€J&;

c)    P(AuB) = P(A) + P(B)- P(An B) dla dowolnych A,B^^.

Z AD.4. Trzy osoby grają w szachy. Pierwszą partię rozgrywają gracze A i B, następnie zwycięzca gra z graczem C ltd. Gra toczy się do chwili, gdy któryś z graczy wygra dwie partie pod rząd, zostając zwycięzcom turnieju. Znaleźć prawdopodobieństwo wygrania dla poszczególnych graczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ze żaden z graczy nie wygra?

Z AD.5. Wybieramy z odcinka [0,1] losowo dwie liczby x i y. Jakie jest prawdopodobieństwo, że należą do dziedziny funkcji f (x, y) = -Jx - 3y +1 ?

Z.AD.ó. Losowo wybieiamy dwie liczby a' i y takie, że każda z nich jest nieujemna i nie większa od jedynki.. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, żc x + y <. 1 i xy > 0,09.

Opracowała JOawża Ba\a$

ĆWICZENIA 1.

ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO (£1 - ZBIÓR NIESKOŃCZONY)

ZAD.l. Wiedząc, żc o-ciało zdarzeń losowych JT jest domknięte ze względu na operacje dopełnienia zbioru i przeliczalnej sumy zbiorów' (patrz wykład) udowodnić własno-

a)    Cl € JT ;

b)    przeliczalny przekrój (iloczyn) zdarzeń losowych jest zdarzeniem losowym.

ZAD.2. Wiedząc, żeo-ciało zbiorów borelowskich .^(1K) jest generowane przez klasę ograniczonych przedziałów otwartych wykazać, że:

a)    (2,<jo) 6 ś&(R);

b)    (-co,4)e.2?(R);

c)    {-6} €.»(*);

4) <-3,oo)e.«(E).

ZAD.3. Udowodnić własności:

a> P(/l) -1 P(A') dla dowolnego A g X;

b)    A c B => P{B \ A) - P(B) P(A) dla dowolnych A.BeJF;

c)    Ac Ił => P(A) < P(B) dla dowolnych A, B e 5C.

ZAD.4. Rzucamy monetą tak długo, aż wypadnie dwa razy na tę samą stronę. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych i jakie jest prawdopodobieństwo, żc potrzebna będzie parzysta ilość rzutów?

ZAD.5. Na tarczy zakreślone są 4 koncentryczne koła o promieniach 0 < r, < r₂ < r_} < i Ą odpowiada trafieniu w koło o promieniu r_y . Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń i podać ich interpretację:

a)    B = Ą u A₃;

b)    C=A,\Ą.

ZAD.6. W ciągu czasu T mogą nadejść do odbiornika 2 sygnały. Prawdopodobieństwo nadejścia sygnału w dowolnej chwili z przedziału (0,7') jest stałe. Odbiornik zostaje uszkodzony, jeśli różnica w czasie pomiędzy dwoma sygnałami jest mniejsza od t (0<t<7'). Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia odbiornika w czasie T.

Opracowała Joanna Banas