00098492

274 I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

IŁ Wyk»2»ć, że zdanie V«* - Ojeat fałszywe.

H. Znaleźć częić: a) rztczywślą, b) urojoną funkcji chr.

CMpowfadaL X dia Iz! < 1 zbieżny, sumadla |z| > 1 rozb- 4. a) 0,

b) to, c) 4, d) I/e. 7. a) skizchy, ahrcos*, b) cos-tchy. -sinishy.

10. a) jshl, b) ch3, c) -jsh2, d) chi*. 1S. a) /ainl, b) cos2, c) J««l> d) jagi. IŁ a) na prostych y “ kn, b) na prostych    0, ±1.    j

19. a) coa/cfc*, b) iinFłhx.    ₍

8. FUNKCJE WIELOZNACZNE

W tym punkcie podamy informacje na lemat pewnych przyporządkowań jednoznacznych, zwanych funkcjami wieloznacznymi.

Funkcja wtekrznarraa w *= Arg*. Wiemy, te kaida liczba z s* 0 ma nieskończenie wiele argumentów. Przyporządkowanie liczbie- z ^ 0 jej argumentu nie więc jednoznaczne, czyli nie jest funkcją w używanym przez nas dotąd znaczeniu .; tego słowa. W analizie funkcji zmiennej zespolonej natrafiamy doić często na tego rodzaju przyporządkowania niejednoznaczne; nazwano je funkcjami wieloznacznymi. Na przykład przyporządkowanie h = Arg? jest funkcją nieskończenie (przeliczalnie); wieloznaczną, określoną w obszarze 0 < z| < *. Ponieważ mamy tu

w «-• argz~2n*

przy czym * = 0, *1. ±2..... zaś atgz oznacza argument główny liczby z, więc

nasuwa si? myśl. te wystarczy ustalić wartość k. żeby pozbyć się wieloznaczności i otrzymać funkcję jednoznaczną. Istotnie, przyjmując np. k = 0 otrzymamy przyporządkowanie w = argr jednoznaczne w obszarze 0 < |z. < ao. Przyporządkowanie to ma jednakże bardzo niekorzystną właściwość: jest nieciągłe na całą} ujemnej półosi rzeczywistej. Fakt ten jest spowodowany nieciągłością argumentu; głównego argz na tej właśnie półosi Jeżeli jednak ograniczyć dziedzinę funkcji: w = argz do obszaru A : 0 < |z| < ao, -w < argz < + n, który nie zawiera punktów ujemnej półosi, to w tej nowej dziedzinie (rys. 111.13) funkcja w = argz jest juk nie tylio jednoznaczna, lecz także ciągła. Mówimy, te w obszarze A można; wydzielić jednoznaczną i ciągłą gałąź argz funkcji wieloznacznej Argz. Ograniczając się tak jak poprzednio do obszaru A i przyjmując inną wartość k np. k - 1, otrzymamy inną niż poprzednio jednoznaczną i ciągłą gałąź funkcji wieloznacznej Argz. Mówiąc galął funkcji wieloznacznej będziemy mieli zawsze na myśli funkcję f{z) jednoznaczną 1 ciągłą w rozważanym obszarze, której wartość w każdym punkcie tego obszaru jest równa jedną! z wartości danej funkcji wieloznacznej F(z)-

Okresowość funkcji e\ Na wstępie udowodnimy ważne twierdzenie pomoc-

Lemat. Prawdziwa jest następująca równoważność:

e¹ •= I o ż ■- 2nkj    (k = 0, ±1, ±2,...)    (in.79)

y

R-n. 111.13

DOWÓD. Prawdziwość implikacji «- jest oczywista, gdyż na mocy wzoru Eulera mamy e^jnł-l = cos2it*-j-ysin2itft = 1 +7-0 = 1 Udowodnimy prawdziwość implikacji •« . Jeżeli

e* w e¹cov+v'e^Isin> = I

lo

e*cosy = 1 i e^smy = 0

Ponieważ e* > 0. więc mamy stąd siny — 0, czyli y = ick, przy czym k oznacza dowolną liczbę całkowitą: Z uwagi na warunek e*cos>- = ], mamy ponadto e*cosnfc = 1, czyli e*(—I)* — 1. Ta ostatnia równość Spełniona jest wtedy i tylko wtedy, gdy k 0, ±2, ±4, .... oraz x “■ O. Ostatecznie, z równości e* = ! 'wyprowadziliśmy warunek y — rzk, * *= 0, ±2, ±4,..., oraz warunek x = 0. Stąd a = inkj, gdzie k oznacza dowolną liczbę całkowitą, cnd.

Wniosek. Dla każdego z i dla każdego całkowitego k

(mm

_ei+jn»j _e«

Wniosek ten wynika bezpośrednio z udowodnionego lematu i z równości

_e^r+2n»j = e¹ • e²"*-¹.

(por. zad. 5c., p. 7 tego rozdz.).

Def. Funkcję /(z) zmiennej zespolonej z nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba zespolona p ^ 0, że dla każdej liczby z z dziedziny funkcji / liczba z+p także należy do tej dziedziny oraz

JKz+p) =/(z)    (111.81)

Liczbę p nazywamy okresem funkcji /.

Z warunku (111.80) wynika więc, że funkcj.a e" jest okresowa, przy czym jednym z jej okresów jest liczba urojona 2irjf.