0242

243

§ 1. Badanie przebiegu funkcji

punkcie [102,1°], jednak w punkcie x=0 żadna z tych funkcji nie ma ekstremum (ponieważ w dowolnym otoczeniu tego punktu obie funkcje przyjmują wartości zarówno dodatnie jak i ujemne).

135. Warunki dostateczne. Reguła pierwsza. Tak więc, jeśli x₀ jest punktem stacjonarnym fąnkcji /(z) albo też jeśli w tym punkcie nie istnieje dwustronna pochodna skończona, to x₀ jest dopiero punktem „podejrzanym” o ekstremum i podlega dalszemu badaniu.

Badanie to polega na sprawdzeniu czy spełnione są warunki dostateczne istnienia ekstremum, które teraz ustalimy.

IZałóżmy, że w pewnym otoczeniu (x₀—ó, x₀+ó) punktu x₀ (przynajmniej dla x¥^,x₀) istnieje pochodna skończona /'(*), która na lewo od x₀ oraz na prawo od *₀ z osobna zachowuje stały znak. Możliwe są wtedy następujące trzy przypadki:

l.    f'(x)>0 dla x<x₀ i/'(*)<0 dla x>x₀, tj. pochodna/'(*) przechodząc przez punkt x₀ zmienia znak z plusa na minus. W tym wypadku w przedziale <x₀—<5, x₀} funkcja /(x) wzrasta, a w przedziale (x₀, x₀+d) maleje [132], tak że wartość f(x₀\ będzie największą wartością w przedziale (x₀—ó, x₀+S), tzn. w punkcie x₀ funkcja ma maksimum właściwe.

U.f'(x)<0 dla x<x₀ i /'(*)> 0 dla x>x₀, tzn. pochodna /'(x) przy przejściu przez punkt x_Q zmienia znak z minusa na plus. W tym wypadku możemy przekonać się, podobnie jak w I, że w punkcie x₀ funkcja ma minimum.

m.    /'(x)>0 tak dla x<x₀ jak i dla x>x₀ lub też /'(*)<0 i na lewo i na prawo od punktu *o, tzn. przy przejściu przez x₀ pochodna f'(x) znaku nie zmienia. Wówczas funkcja albo stale rośnie, albo też stale maleje; dowolnie blisko punktu x_Q po jednej stronie znajdują się punkty x, w których /(*)</ (x₀), po drugiej zaś stronie — punkty x, w których f(x)>f (x_Q), w punkcie x₀ nie może więc być ekstremum.

Graficzna ilustracja najprostszych przypadków podana jest na rys. 56a, b, c.

Otrzymaliśmy pierwszą regułę badania „podejrzanej” wartości x₀: podstawiamy do pochodnej/'(*) najpierw x<x₀, a następnie x>x₀ i ustalamy, jakie znaki ma pochodna w pobliżu punktu x₀ na lewo i na prawo od niego; jeśli przy tym pochodna f'(x) zmienia znak z plusa na minus, to mamy maksimum, jeśli zmienia znak z minusa na plus, to mamy minimum; jeśli natomiast nie zmienia znaku, to ekstremum w ogóle nie ma.

Reguła ta w zupełności rozstrzyga zagadnienie w tym wypadku, gdy w przedziale (a, b), jak to zwykle w praktyce bywa, leży tylko skończona liczba punktów stacjonarnych lub punktów, w których nie ma pochodnej skończonej

(8)    a<x_l<x₂<...<x_k<x_k+l<...<x_n<b.

Wtedy bowiem istnieje przede wszystkim w każdym z przedziałów

(a,x₁),(x₁,x₂),... ,(x_k ,x_k+1).....(x_n,b)

pochodna skończona f'(x) i oprócz tego w każdym takim przedziale f'(x) zachowuje stały znak. Rzeczywiście, gdyby pochodna f(x) zmieniała znak na przykład w przedziale

16*