lista12

SILNIA. SYMBOL NEWTONA

Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych:

...-ii

Ponadto przyjmujemy umowę, że 01 = 1.

Dla dowolnej liczby całkowitej n > 0 zachodzi związek:

(« + !)! = !■(« + !)

Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0<k<n definiujemy symbol Newtona: n\

ykj

Zachodzą równości:

n(n—l)(n-2)-...*(n-k +1)

fn\

K^k

(^H

U

1-2-3-...-&

^r n \	' n	= 1	f"j
Kn~~k)	A

= 1

Dla 0 < k < n mamy:

^n + l^N			( n ^	f»1	n
	—		H-j	=
\^k+ 1;		U,	U+iJ	[k+ij

n

k +1

DWUMIAN NEWTONA

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb «, b mamy:

(a+b)^r

^rri]

v0y

Cl +

a" ^lb+..

_Kkj

aⁿ-^tb^k+...+

\

n-1

ab’~' +

)

b*

\ⁿJ

WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy dla dowolnych liczb a, b:

(    a +    bf = a¹ +    lab + b²

(a-bf = a²-2ab + b²    (a-bf =a³-la²b + 3ab² ~b²

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:

a"-bⁿ =    (a-b)(a’-' +a’-²b+...+a°-^kb^t +... + ab’~² +&“^_1)

W szczególności:

a² -b² =(a-b)(a + b)

a³-b³ =(a-b)(a² + ab + b²)

a³ +b³ =(a + b){a² -ab + b²^

2