0003

ROZDZIAŁ VIII

FUNKCJA PIERWOTNA (CAŁKA NIEOZNACZONA)

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

263. Pojęcie funkcji pierwotnej (całki nieoznaczonej). W wielu zagadnieniach nauki i techniki mamy do czynienia nie ze znajdowaniem pochodnej danej funkcji, lecz na odwrót—z wyznaczaniem funkcji o danej pochodnej. W ustępie 91 zakładając, że znane jest nam równanie ruchu s = s(t), tj. zależność drogi od czasu, otrzymaliśmy za pomocą

różniczkowania najpierw prędkość v = -^s , a następnie przyśpieszenie a =    . Często

dt    dt

jednak trzeba rozwiązywać zadanie odwrotne: przyśpieszenie a jest dane jako funkcja czasu t: a — a[t). Należy wyznaczyć prędkość v i przebytą drogę s w zależności od t. Tak więc w tym wypadku trzeba wyznaczyć funkcję v, której pochodną jest dana fun-cja, następnie zaś znając funkcję v znaleźć taką funkcję s — s (r). której pochodną jest v.

Podamy następującą definicję:

Funkcja F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji /(x) lub całką z/(x) w danym przedziale, jeśli w całym tym przedziale f{x) jest pochodną funkcji F(x) lub, co na jedno wychodzi, /(a) dx jest różniczką F (a) :

F'(x) = /(x) lub dF(x) = f(x)dx (')•

Znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji nazywa się jej całkowaniem', jest to jedno z zadań rachunku całkowego. Jak widać, jest to zagadnienie odwrotne do zasadniczego zagadnienia rachunku różniczkowego.

Twierdzenie. Jeśli w pewnym przedziale OC> (skończonym łub nieskończonym, domkniętym lub nie) F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to funkcja F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną f{x). Na odwrót, każda funkcja pierwotna funkcji f (a) w przedziale    może być przedstawiona w tej postaci.

(‘) Mówimy również, że funkcja F(x) jest funkcją pierwotną (lub całką) wyrażenia różniczkowego f(x)dx.