0007

9

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Innymi słowy, pole zmienne |P (jc)| jest funkcją pierwotną danej funkcji y = f(x). Spośród wszystkich innych ta funkcja pierwotna wyróżnia się tym, że jest równa zeru dla x = a. Jeśli więc znamy jakąkolwiek funkcję pierwotną F(x) funkcji /(a), to na mocy twierdzenia z poprzedniego ustępu

\P(x)\ = F(x) + C,

gdzie stałą C można łatwo wyznaczyć podstawiając x = a:

0 = F(a)+C,

skąd

C = -F(a).

Ostatecznie więc

|/>(x)| = F(x)-F(a).

W szczególności, aby otrzymać pole P całego trapezu krzywoliniowego ABCD, trzeba wziąć x = b, a więc

\P\ = F(b)-F(a).

Obliczmy na przykład pole P(x) figury ograniczonej parabolą y — ax², rzędną odpowiadającą danej odciętej x i odcinkiem osi x (rys. 3). Ponieważ parabola przecina oś .v w początku współrzędnych, wartość początkowa x jest 0. Dla funkcji f{x) — ax² łatwo znaleźć funkcję pierwotną F(x) = | ax³. Funkcja ta jest równa zeru właśnie dla x = 0, a więc

|P(x)| = F(x)= \ ax³ = \-xy [porównaj 32,4)].

Wobec związku zachodzącego między obliczaniem całek i obliczaniem pól figur płaskich, tj. ich kwadraturą, przyjęte jest nazywać kwadraturą również samo obliczanie całek.

Aby rozszerzyć wszystko co powiedziano wyżej na wypadek funkcji przybierającej także wartości ujemne, wystarczy przyjąć umowę, że będziemy uważali za ujemne części figury położone pod osią x.

Tak więc jakąkolwiek funkcję/(x) ciągłą w przedziale <a, bj będziemy rozpatrywali, czytelnik może sobie zawsze wyobrażać jej funkcję pierwotną jako zmienne pole figury ograniczonej wykresem danej funkcji. Nie można jednak, rzecz jasna, uważać tej ilustracji geometrycznej za dowód istnienia funkcji pierwotnej, ponieważ samo pojęcie pola nie zostało jeszcze ściśle zdefiniowane.

W następnym rozdziale [305] będziemy w stanie dać ścisły i przy tym czysto analityczny dowód tego ważnego faktu, że każda funkcja f (x) ciągia »r danym przedziale ma w nim funkcję pierwotną. Twierdzenie to przyjmujemy już teraz, na razie bez dowodu.

W tym rozdziale będziemy mówili o funkcjach pierwotnych tylko funkcji ciągłych.