0023

25

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Podstawienie t ~ In* sprowadza zresztą rozpatrywaną całką do postaci    zbadanej już

w 3) i w 4).

6) Ciekawy przykład stanowią całki

f <?"cos bx dx, J e"sin bx dx.

Jeśli zastosować do nich całkowanie przez części biorąc w obu przypadkach powiedzmy do — e°^x, v =»

= — e“‘, to otrzymamy a

f e“cos bx dx = — e**cos bx+ — f e*^vsin bx dx , a    a J

f e**sin bx dx — — e**sin bx— — f e"cos bx dx .

J    a    a J

Tak więc każda z tych całek wyraża się przez drugą (*).

Jeśli teraz podstawimy do pierwszego wzoru wyrażenie z drugiego wzoru, to otrzymamy równanie wzglądem pierwszej całki, z którego wynika, że

j e"*cos bx dx —

Analogicznie obliczymy drugą całką

h sin bx+a cos bx a²+b²

e“4 C,

f e"sin bxdx -    e»+C'

a²+b²

7) Jako ostatni przykład zastosowania metody całkowania przez części wyprowadzimy wzór redukcyjny na obliczenie całki

/■

dx

(jf^ł + a²)^m

Zastosujmy do niej wzór (3) przyjmując I

(ii «= 1,2, 3,...).

(x* 4 u*)¹

j— , dv = dx, a więc du =-- —

2ajf dr (** 4-o¹)**¹ '

Otrzymujemy

Tą ostatnią całką można przekształcić w sposób następujący:

/

• dx ■

f(*¹+°!)r‘’¹dx = f.

J (x²+a²)'^+l j

dx

-a’f.

dx

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniej równości otrzymujemy

J, -    , *    +2nJ,~2na¹J,n ,

(*²4-<r)"

skąd

(6)

Z.+,

I

2na² (x²+a²y

, 2n-- I I ^    2« a²

/t •

(') Jeśli przez całki rozumieć określone funkcje pierwotne [por. uwaga w 266], to chcąc w drugim wzorze mieć te same funkcje i co w pierwszym, musielibyśmy ściśle rzecz biorąc dołączyć do prawej strony pewną stałą. Oczywiście zostałaby ona pochłonięta w ostatecznych wzorach przez stałe Ci C'.