0005

7

§ ł. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Powracając do tego zadania z mechaniki, które postawiliśmy na początku, możemy teraz napisać

v = ja(t)dt i s — Jv(t)dt.

Załóżmy na przykład, że rozpatrujemy ruch jednostajnie przyśpieszony odbywający się pod działaniem siły ciężkości, wówczas a = g (jeśli za dodatni uważać kierunek pionowy z góry w dół) i jak łatwo zauważyć

v = Jgdt = gt+C.

Otrzymaliśmy wzór na prędkość v, do którego oprócz czasu t wchodzi jeszcze stała C. Przy różnych wartościach C będziemy otrzymywali różne wartości prędkości dla tej samej chwili t, tak więc nasze dane nie wystarczają do całkowitego rozwiązania zadania. Aby otrzymać zupełnie określone rozwiązanie zagadnienia, wystarczy znać prędkość w pewnej określonej chwili. Jeśli na przykład wiadomo, że w chwili t = t₀ prędkość v = v₀, to po podstawieniu tych wartości do otrzymanego wzoru na prędkość mamy

v₀ = gt₀+c, skąd C = v₀-gt₀.

Teraz nasze rozwiązanie otrzymuje już w pełni określoną postać

v = g(t-t₀)+v o-

Znajdziemy następnie wzór na drogę s. Mamy

^s = fig 0~ to) + »o]dt= y g (t-1₀)² + v₀(t -1 o) + C'.

Łatwo jest sprawdzć różniczkowaniem, że funkcję pierwotną można wziąć w takiej postaci. Nieznaną nową stałą C' można wyznaczyć, jeśli na przykład dana jest droga r = r₀w chwili t = t₀. Obliczywszy, że C' = s₀, napiszemy rozwiązanie w ostatecznej postaci

s =    0-*o)²+»o(f-fo)+s<> •

Wartości t₀, s₀, v₀ nazywają się wartościami początkowymi wielkości t, s i v.

Jak wiadomo, pochodna funkcji y = F{x) daje współczynnik kątowy stycznej do wykresu tej funkcji. Zadanie znalezienia funkcji pierwotnej F(x) danej funkcji f(x) można więc interpretować w następujący sposób: trzeba znaleźć krzywą y = F(x), dla której zachodziłoby dane prawo zmiany współczynnika kątowego stycznej:

tga = /(x).

Jeśli y = F(x) jest jedną z tych krzywych, to wszystke pozostałe można otrzymać z mej po prostu przez przesunięcie o dowolny odcinek C równolegle do osi y (rys. 1). Na to, by z tego zbioru krzywych wyróżnić jedną, wystarczy na przykład przyjąć punkt (x₀,y₀), przez który krzywa ta ma przechodzić. Warunek początkowy y₀ = F(x₀) + C da nam C~y₀-F(x₀).