0009

11

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Wzór 4 wymaga pewnego objaśnienia. Może on być stosowany w dowolnym przedziale nie zawierającym zera. Rzeczywiście, jeśli przedział ten leży na prawo od zera, a więc

x > 0, to ze znanego wzoru [ln x]' = — wynika bezpośrednio, że

dx .    _

— = ln x+C. x

Jeśli natomiast przedział leży na lewo od zera, a więc x < 0, to różniczkując możemy się

łatwo przekonać, że [In (—x)]' = —, skąd

jil=ln(-x)+C

Oba te wzory połączone razem dają wzór 4.

Wprowadzenie reguł całkowania pozwoli nam rozszerzyć możliwość znajdowania całek.

266. Najprostsze reguły całkowania

I.    Jeśli a jest stalą (a # 0), to

f a •/(*) dx = a J f(x) dx .

Rzeczywiście, różniczkując wyrażenie stojące po prawej stronie otrzymujemy [105,1]:

d Ja j/(x) dxj = ad [J/(x) dx] = a f(x) dx,

a więc jest to funkcja pierwotna wyrażenia a-f(x) dx, c.b.d.o.

Tak więc czynnik stały można wynosić spod znaku całki.

II.    J [/(x)+g (x)] dx = J/(x) dx± f g (x) dx .

Różniczkujemy wyrażenie stojące po prawej stronie [105,11]:

d [ f f(x) dx± J g (x) dx j = d jf(x) dx±d J g (x) dx = [f(x)±g (x)] dx\

jest ono więc funkcją pierwotną ostatniej różniczki, c.b.d.o.

Całka nieoznaczona sumy (różnicy) różniczek równa się sumie (różnicy) całek każdej z różniczek z osobna.

Uwaga. W związku z dwoma powyższymi wzorami zauważmy rzecz następującą. We wzorach tych występują całki nieoznaczone, z których każda zawiera stałą dowolną. Równości tego typu rozumiane są w tym sensie, że różnica prawej i lewej strony jest stała. Można również traktować takie równości dosłownie, lecz wówczas jedna z występujących w nich całek przestaje być dowolną funkcją pierwotną: jej stałą wyznacza się po wyborze stałych w pozostałych całkach. O tej ważnej uwadze trzeba pamiętać na przyszłość.