0019

21

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Przejdźmy teraz do zmiennej x podstawiając z powrotem t *= arctg — i wyrażając sin/i cos t przez

a

x

tg / =* — Ostatecznie otrzymujemy a

/

dx

(*²+0²)²

1    X , ł _____ -V I „

~7 ' —r-—r + TT art tg —f- C. 2a²    x²+a²    2 a³    a

9)    f — ^dx— ■

^J l/x*±a¹

Tu wygodniej jest stosować podstawienie hiperboliczne. Rozważmy na przykład dolny znak. Podstawiamy x = acoshr (x>0, />0), dx = asinh/<ft, j/ x²—a² •>> osinht. Całka sprowadzi się po prostu do $dt = i+C. Aby przejść do x, przypomnijmy sobie funkcję odwrotną względem cosinusa hiperbolicz-nego [49,3)]; otrzymujemy

'^{,n +} ]/(^)^+c“^<'⁺^^ir?,+c'' przy czym do stałej C włączamy także składnik —Ino.

^{10)    (#)} / Cx^a+a²)*^/ł '    ^(b) / (z²-o²)²'² ’    ^(C> f (a²—x²)^3/1 '

W danym przypadku do celu prowadzi równie łatwo podstawienie trygonometryczne jak i hiperboliczne. Weźmy na przykład w drugiej całce x = —-— , dx — —^dt atg 1 ^ , wówczas

cos /    cos²r    cos /

²—a² « o²tg²f i J

.../ *

dx

(x¹-a²)^il1

1 f cos t dt a² J sin²/

¹ - + C---L

sin /

]/x²-a²

■+C.

x yr~x²

Podstawienie x = osin/, dx = acostdt sprowadza tę całkę do postaci

— [-$■---— ln jtg-^-l 4-C.

a J sin / a I 21

[p. 6) (a)]. Ale

/    1—cos/    a—i/a²—x²

*8— — ——— ¹-,

2 sin /    x

a więc ostatecznie

/

dx

Y a²-x²

+ C.

Rozpatrzmy na zakończenie jeszcze dwa przykłady całkowania przez zamianę zmiennej, w których podstawienie nie jest co prawda tak naturalne jak w poprzednich przypadkach, ale za to szybko prowadzi do celu.

12) f

dx

/.x²+a

(a dodatnie, ujemne lub zero).