0015

17

$ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

upraszcza się przez takie podstawienie, podstawienie to może tu być użyte. Mamy J sin³ x dx *• J\t²-1) dt =*    —t+C «*    ?■-* -cos x+C.

Przy pewnej wprawie w wykonywaniu podstawień można nie pisać nawet zmiennej t. Na przykład w całce

/■

sin³ x cos x dx = j sin³ x d sin x

można w pamięci traktować sin x jako nową zmienną i od razu otrzymać wynik. Analogicznie

Przeprowadzamy tu w pamięci podstawienie t = x/a.

Czytelnik widzi teraz, że reguła 111,266 sprowadza się właściwie do podstawienia liniowego t = ax+b:

Jf(ax+b) dx - — jf(ax+b) d (ax+b) = ~ jf (t) dt.

Niekiedy używa się podstawień w inny sposób niż pokazany wyżej. Podstawia się mianowicie za x do wyrażenia podcałkowego f(x)dx bezpośrednio funkcję x — (p (t) nowej zmiennej t i otrzymuje się w wyniku wyrażenie

Jeśli w tym wyrażeniu dokonać podstawienia / = <o (x), gdzie co (x) jest funkcją odwrotną względem (/), to powrócimy oczywiście do wyjściowego wyrażenia podcałkowego f{x) dx. Zachodzi więc, jak i w poprzednim wypadku, równość (2), gdzie po prawej stronie po obliczeniu całki — trzeba podstawić / = co (x).

Obliczmy na przykład całkę

Jeśli podstawimy x = t⁶ (żeby dały się wyciągnąć wszystkie pierwiastki), to otrzymamy ]/x - t³, y~_x = f², dx = 6t⁵dt i

2 Rachunek różniczkowy

t² dt 1 + t²

= 6

1+f²

dt

6(f—arctg f)+C.