0021

23

$ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej wyznaczania

ostatecznie do uproszczenia wyrażenia podcałkowego. Tak na przykład w rozpatrywanym przykładzie byłoby, jak widać, niewygodnie przyjąć x dx za dv, a cos x za u.

Przy pewnej wprawie nie trzeba wprowadzać oznaczeń u, v, można od razu zastosować wzór [por. (4)].

Reguła całkowania przez części ma mniejsze zastosowanie niż całkowanie przez podstawienie. Istnieją jednak klasy całek, na przykład

J x*ln^mx dx, J x^k sin bx dx, J x* cos bx dx, J x^ke*^xdx

i inne, które obliczamy właśnie za pomocą całkowania przez części.

Powtórne zastosowanie reguły całkowania przez części prowadzi do tak zwanego uogólnionego wzoru na całkowanie przez części.

Załóżmy, że funkcje u i v mają w rozpatrywanym przedziale ciągłe pochodne wszystkich rzędów do n+1 włącznie: u', v\ u", o*,..., «^<B), v⁽"\ «⁽"⁺¹⁾,

Podstawiając do wzoru (3) zamiast v wyrażenie v^M otrzymujemy

J uv⁽ⁿ⁺¹⁾dx ⁼ f ^u dv^(l° = uv^ln)— J v^Mdu = uv⁽ⁿ⁾— j u'v^M dx.

Analogicznie

J u'v^M dx = «'»<"-»> -    dx,

ju^,'D^(H-¹⁾dx = u'V"-²⁾- J u"V"^_2) dx ,

j u^wv' dx = u^<n)v— J u⁽"⁺¹⁾v dx .

Mnożąc te równości kolejno przez +1 lub -1 i dodając je stronami otrzymujemy po redukcji jednakowych całek po obu stronach równości wzór

(5) Juv⁽ⁿ⁺¹⁾ dx = uv^<H)—uV"“¹⁾+u'V*~²⁾— ... +(— l)"u^(,,)i>+(—1)"⁺¹ juⁱⁿ⁺°vdx.

Szczególnie wygodny jest ten wzór wówczas, gdy jednym z czynników jest wielomian algebraiczny. Jeśli w jest wielomianem stopnia n, to jest równe tożsamościowo zeru i dla całki znajdującej się po lewej stronie równości otrzymujemy ostateczny wynik. Przejdźmy do przykładów.

271. Przykłady

1) jx³inxdx.

Różniczkowanie lnx prowadzi do uproszczenia, przyjmujemy więc

dx

v = — x' 4

u = ln dv = x³dx, a zatem du =

( x³ ln x dx = — x* ln x— -7 f x³dx = - x* in x— -J- x*+C. 2) (a) J ln x dx, (b) J arc tg x dx, (c) J arc sin x dx.

Przyjmując we wszystkich przypadkach dx = dv otrzymujemy

(a)    Jln x dx = x In x— Jx dIn x = xln x— jdx = x (ln x— 1)+C;

(b)    J arc tg x dx = x arc tg x— J x d arc tg x = x arc tg x— j    dx —

[p. 269,5) (a)];

— x arc tg x— J- ln (x^J +1).+ C