0011

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

13

“ y S^xdx+jJ^dx~ /*" S^x~²dx=i*²+f^x~^lnx+ 7^+c*

“ "jy x^l3lt— y x^7/f + C.

Podamy kilka przykładów na zastosowanie reguły III:

7) (a)    --ln |x—a|+C,

J x—a

^mfoc-#

^dx = {x-afdx = —J-(x-o)-‘^+,+ c =

-Jfc+1

-ĆŁ--)^-^+c

8) (a) f sin mx dx — cos »w+ C (nt =£ 0) ,

*    m

(b)    f cos nur dx — —sin mjc+ C (w # 0),

^J    m

(c)    f e~^ixdx =—-«-»*+C.

^    3

9) (a)    /    ; ^dx    =~    f

dx

_    ' arcsin--HC (a > 0),

a    a

?/

i+

^rfjc — = —arctg—+ C. ^v2 o a

(f)

Przykłady na wszystkie reguły:

(10) J*= j(_e^-_ef₊i-_e-^dx=‘—e^Xx-e^x+x-\-e-^x+C.

(II,I;3.2,4)

(U ;3) (III;4)

(Hi;3)

(ni;*)

(III ;9) nn;7) (iii;6)

(in;5) (II,III ;7,2)

Dzieląc licznik przez mianownik możemy zapisać wyrażenia podcałkowe w postaci

a_ bc—ad .    1

c c cx+d'

Stąd szukana całka równa się

-*+ ^bc~“^d \n\cx+d\+C.    (II,I,III;2,4)

c    c^a

(12) J -~^xl~+i ^{+ 1}- dx = J ^2x-5+-^-jdJt= ^-S^+óin^-t-H + C.