0013

15

§ I. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Ogólniej

sin mx cos mr — -j [sin (m+n) jc-J- sin (m—n) x], cos mx cos nx = -j [cos (m+n) jc+cos (m—n) x] , sin mx sin nx = -i [cos (m—n) x—cos (m+n) x] .

Przyjmując, że m±n?M), otrzymujemy następujące całki:

/i    i

sin mx cos nxdx =--=-cos (m+n) x--=-cos (m—n)x+C,

2 (m+n)    2 (m—n)

(b) f cos mx cosnx dx =-?-sin (m+n) x-\--^-sin (m—n) x+C,

^J    2 (m+n)    2 (m—n)

(c) f sin mx sin nx dx =---sin (m—n) x----sin (m+n) x+C.

^J    2 (m—n)    2 (m+n)

Rozpatrzymy na zakończenie nieco bardziej skomplikowany przykład.

19) (a) f i¹?-?"* dx (n - 1, 2, 3,...) .

J sin*

Ponieważ

■    m

sin 2nx = [sin 2Jtjr— sin {2k—2) *] = 2 sin jc ^ cos {2k— 1) *,

fc-1    *-l.

więc wyrażenie podcałkowe sprowadza się do 2 cos (2*— 1)* i szukana całka równa się

Ł-l

>1"*^+c-1-1

Analogicznie

(b) r Sin (2n+ i) * _dx__x+2y ŚDMł ₊ c.

J sin x    Z—i 2k

268. Całkowanie przez podstawienie. Wyłożymy tu jeden z najsilniejszych sposobów całkowania — metodę całkowania przez podstawienie, czyli zamianę zmiennej. U podstaw tej metody leży następujący prosty fakt.

Jeśli wiadomo, że

fg(t)dt = G(t)+C, to

Jg(a> (x)) co'(x) dx <m G (o) (x)) + C .

(O wszystkich występujących tu funkcjach g (t), a (x), <o'(x) zakładamy, że są ciągłe). Wynika to bezpośrednio z reguł różniczkowania funkcji złożonej [98]:

(x» = G'(oi (x)) m'(x) = g (co (x» co'(x),

jeśli wziąć pod uwagę, że G'(t) = g (t). To samo można wyrazić inaczej mówiąc, że równość

dG (0 = 9(0*

pozostaje w mocy także przy zamianie zmiennej niezależnej t na funkcję co (x) [106],