023

a z toho, że je

a

b

plyne, że ćisla

\/a^{1 2} + b'²    \/ a² + b²

lze povażovat za hodnoty kosinu

a sinu jisteho realneho Cisla p; toto cislo v intervalu (0,2n) existuje jedine. UrCime-li tedy toto Cisło ze soustayy rovnic

a    .    b

a polożime-li r = \/a² + b², dostavame yyjadreni Cisi a z = a + bi v goniometrickem tvaru z = r(cos ip + isin<p).

Z tohoto odvozeni rovneż vyplyva, że kaźdou komplexni jednot-ku lze yyjadfit ve tvaru cos ip + i sin <p; to, że Cisło 2 = cos ip + i sin p je komplexni jednotka pro libovolne realne Cislo tp, je jasne, nebot’ \z\ — yj cos² v? + sin² tp = v/T = 1.

Uvedomte si, że z rovnosti dvou komplexnich Cisel zapsanych v goniometrickem tvaru vyplyva, że se rovnaji jejich absolutni hodnoty a jejich argumenty se lisi o k -2n, kde k £ Z (popripade se rovnaji, je-li k — 0).

Priklad 4

Zapiśte v goniometrickem tvaru Cislo z — -1 + i\/3-

Reśem

Cislo z = —1 + i\/3 yyjadrime ve tvaru

sin^= —

a polożime

>/5

fteśenim teto soustavy rovnic pro <p G (0,2ti) je <p = §x. Dostaneme tak yysledek

z — 2 (cos §ti + i sin |rc).

Ukaźeme si reśeni pnkladu na prvni pohled ponekud obtiżnejśiho.

Priklad 5

V goniometrickem tvaru yyjadrete cislo z = 1 + cos |ji + i sin |rc. Reśeni

Yypoćtcme nejprye

\z\ = r = \J(1 + cos |k)² + sin² |ti = \J% + 2 cos — \/3, także dostavamc

pro argument p ćisla z tedy plati

\/3    1

cosi,£J=—, sirii/>=-, <£G(0,2ti), coż znamena, źe tp — |ti. Odtud plyne:

2 = 1+ cos 5u + i sin = \/3 (cos 5 n + i sin |ti)

45

1

2

cos<p=