0051

0051



52


I. Teoria granic

podczas gdy wysokość tych graniastosłupów jest jednakowa: H/it. Dlatego

v:--


C..,.,,,    , , H QH «(«+l)(2n + l) QH (n + l)(2»> + l)(‘)

—a U +2 +...+n )—=— •---------i-    -

n    n n    6    6    n

czyli

4) Znaleźć pole Q figury O PM, ograniczonej częścią OM paraboli y = ax1 (a> 0), odcinkiem OP osi Ox i odcinkiem PM (rys. 4).

Podzielmy odcinek OP na n równych części i zbudujmy na nich wpisane i opisane prostokąty. Pola Q„ i Q'„ utworzonych

x

z nich figur schodkowych różnią się o pole —y największego

n

prostokąta. Stąd, jak w przykładzie 3), różnica Q'„—Q„-10, a ponieważ

G»<Q<C»,

więc

G=limQ.=limCń.

Ponieważ wysokości oddzielnych prostokątów są rzędnymi punktów paraboli, o odciętych



1

— x, n


■ x,


X,


więc zgodnie z równaniem krzywej rzędne wynoszą odpowiednio 22    t2

*    •>    ■    "t    ł


1 2 a — xn


i 1 1


a7X


ax ,


i dla Q'„ otrzymujemy wyrażenie

G» = —r (lł+22 + ...+n2) -

Stąd


ax3 x-ax2 xy

e-|ta«-T-—-T-

Korzystając z tego wzoru łatwo otrzymać, że pole wycinka parabolicznego M'OM równa się ~xy, tj. dwum trzecim pola opisanego prostokąta (wynik ten był znany jeszcze Archimedesowi; (2).

5) Dowieść, że przy 0<k<l jest

lim l(n + l)‘-n‘l=0.

n1


Mamy tu wyrażenie nieoznaczone postaci oo —oo. Przekształcamy badane wyrażenie, wynosząc przed nawias:

Ponieważ 1 /n1 '1->0, to również (n+1)1—n1-»0, cnd.

1

Wykorzystujemy tutaj znany wzór na sumę kwadratów n pierwszych liczb naturalnych.

(2) Ogólną definicję pola figury krzywoliniowej podamy dopiero w rozdziale X (w tomie drugim), tam właśnie przytoczona tu metoda obliczania pola będzie uogólniona na inne figury krzywoliniowe.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
52 I. Teoria granic podczas gdy wysokość tych graniastosłupów jest jednakowa: H/it. Dlatego v:-- C
52,53 (3) 52 ROZDZIAŁ 3 soucl, podczas gdy łatwo przewidzieć, że np. członkowie kierownictwa nie będ
52 (229) W warsztacie Podczas, gdy klient kupuje naszyjnik, rękodzielnik przy pomocy puncy osadzonej
justy011 Podczas gdy silnie zmineralizowana gleba jest uboga w drobnoustroje, gleba bogata w humus z
str03zdj02 Przyjmuję dolną granicę okna na wysokości; 2,Om; okno jest Won wysotea górna granica okna
Przykład 4 Na ile sposobów spośród dziewięciu słów wybrać sześć, gdy kolejność tych słów jest
14 1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo gdy y < x. Rozwiązaniem tych nierówności jest zbiór A = 2
kundalini reiki1h rodzicem), podczas gdy ciało emocjonalne nazywane jest podświadomością (posiadając
DSCN0034 *7* DiaUkJyka oświecenia *7* DiaUkJyka oświecenia • f dą, podczas gdy w istocie prawda ta j
„ODWILŻ" A „PIERIESTROJKA”... wykładnia tych zagadnień — jest jednak znów, jak każe
10- Innoveer! Granica między stopniowo i radykalnie nie zawsze jest jednakowo wyraźna. Czy rower skł
52 (31) kątem 25°. Gdy bomy żurawi mają większe graniczne kąty nachylenia od wymienionych, musi to b
IMAG0727 (2) rezultaty leczenia, podczas gdy u tych, którzy zrezygnowali, wskaźniki zachowań za-burz
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk

więcej podobnych podstron