Struik 021

k nove epose vlady anticke aristokracie. Krize była re-sena v duchu novś epochy.

5. Typicky był v tomto novem obdobl recke historie rust bohatstvi urcitych vrstev vladnoucich trid, ktery po-kracoval umerne s rdstem bidy a nezajistenosti chudiny. Vladnouci tridy opiraly svou materialni existenci stale vice o otroctvi, coż jim sice umożńovalo pestovani umeni a ved, avsak zaroveń se stale vice vzdalovali veskere manualni cinnosti. Vzdelany muz s premirou volneho ca-su shliżel s pohrdanim na prąci otroku a remeslniku a utikal pred drsnou skutecnosti ke studiu filosofie a etiky. Platon a Aristoteles ztelesńuji tento postoj; v Platónove Republice, napsane snad kołem roku 360, nalezśme nej-jasnejsi vyjadreni ideału otrokarske aristokracie. „Hli-daci“ (valecnici) Platónovy Republiky musi studovat „kvadrivium“, skladajici se z aritmetiky, geometrie, astronomie a muziky, aby porozumeli zakonCun vesmiru. Tato intelektualni atmosfera była na pocatku obdobi roz-hodne prizniva diskusim o zakladech matematiky i spe-kulativni kosmologii. Ve spojeni s Platónovou Akademii byli alespoń tri velci matematici tohoto obdobi: Archytas, Theaitetos (zemrel 369) a Eudoxos (asi 408—355). Theai-tetovi byvS pripisovana teorie iracionality tak, jak se objevuje v desate knize Euklidovych Zakładu. Eudoxovo jmeno je spojovćino s teorii proporci, kterou Euklides vlożil do sve pate knihy, a rovneż s tzv. „exhaustivni“ metodou, kterd umozńuje presne vypocty obsahu a obje-md. To vsak znamenS, że „krizi“ recke matematiky reśil Eudoxos, jehoż presne formulace pomohly usmernit dalsi rozvoj recke axiómatiky a ve znacne mirę i cele recke matematiky.

Eudoxova teorie proporci odstranila aritmetickou teorii pythagorejcu, kterś platila jen pro soumeritelne velićiny. Jeho teorie była cistę geometricka a v jeji prisne axióma-ticke formę było zbytecne brat zvlastni zretel na nesou-mefitelne nebo soumeritelne veliciny.

Ty pieką je 5. definice z pate knihy Euklidovych Zakładu: „ftikame, że velićiny jsou v temże pomeru, prva k druhe jako treti ke ctvrte, jestliże stejne nasobky prve a treti veliSiny ve srovnani s tymiż nasobky druhe a 5tvrte velićiny, vezme-me-li je odpovidajicim zpusobem po dvojicich, jsou bud' sou-casne vetsi nebo soucasne mensi"¹.

Dnesni teorie iracion&lnich cisel, jak ji vytvoril Dede-kind a Weierstrass, sleduje temer doslova Eudoxuv mys-lenkoyy postup, avśak użitim modernich aritmetickych metod otevrela podstatne sirsi perspektivy.

„Exhaustivni metodou" (termin „exhaustivni“ se ob-jevuje poprve u Gregoira de Saint Vincentia roku 1647) odpoyedela Platónoya skola Zenonovi. Vyhnula se uskali nekonecne maleho tim, że je jednoduse obesla a prevedla problem, ktery by mohl vest k nekonecne małym velici-nam, na problemy resitelne pouze formalni logikou. Jestli-że se potrebovalo napr. dokazat, że objem V ctyfstenu je rovny tfetine objemu P kvadru o stejne zakladne a vysce, pak ideou ddkazu było prokdzat, że oba predpoklady 1    1

V < — P, a V > — P vedou ke sporóm. Pritom był za-3    3

veden axióm nyni znamy jako axióm Archimeduv, ktery tkvf rovneż v zakladech Eudoxovy teorie proporci: „O ve-lićinach rtkame, źe vytvarejt pomer jedna k druhe, maji-U tu ulastnost, źe jedna po nyndsoheni muźe byt vetsi neź druha". (Euklides, kniha patś, def. 4)². Tato metoda, kterd se stała beżnym zpusobem presnych dukaztl pro vypoćty płoch a objemii v recke i renesancni matematice, je zceła presnćł a muże byt snadno pretlumoSena do dukazd vy-hovujicich pożadavkum moderni analyzy. Jeji velkou ne-vyhodou je, że musi zndt predem vysledek, jehoż sprśv-nost proveruje, także nejprve musi matematik tent o yysledek ziskat nSjakoti jinou, mene presnou a spisę zkusmou metodou.

Nachazime nesporne znamky toho, że se skutecne

43

1

   Tj. a :b = c :d, prSve kdyz pro libovolnś prirozend 2isla m a n plati souCasne ma > nb a mc < nd (pozn. prekl.).

2

   Archim6dova verze (kterou Archimśdes vyslovne pripi-suje Eudoxovi) rikś: „Vetsi ze dvou danych velicin, at jsou to tisecky, płochy nebo t§lesa, presahuje mensi o jisty rozdil, ktery, kdyż je dostatećne yyndsoben, je vet§i neż każdfl z obou danych velicin.“ Archimedes, O kouli a vślci, nemecky viz napr.: Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 202, Leipzig 1922.