Układy równań liniowych6

Układy równań liniowych6



102


Układy równań liniowych


mniejszy od 4, zaś dodanie czwartego liniowo zależnego równania nie podwyższa tego rzędu do 4.

c) Ceny jednostkowe poszczególnych produktów moglibyśmy wyznaczyć z układu równań o macierzy rzędu 4, np. z układu Cramera. Rząd macierzy układu trzech równań napisanych na początku jest równy

= rz




co zresztą można już było wcześniej wywnioskować na podstawie rachunku przeprowadzonego w punkcie a). Zakup, jakiego powinniśmy dokonać, musiałby się więc składać z ki kostek masła, *2 bochenków chleba, *3 jaj i fc<i litrów mleka, gdzie ki ^ 1, *2 > 1, ki ^ 1, *4 ^ 1, przy czym musi być spełniony warunek


2

2

10

3

1

2

20

1

3

1

5

2

ki

*2

*3

*4


Warunek ten spełniony jest np. dla ki = 6, k2 = 5, k3 35, *4 = 1. d) Do początkowego układu trzech równań dołączamy czwarte równanie


x + y + z + t = 3,6.

Rozwiązujemy otrzymany układ czterech równań (metodą „kolumn jednostkowych”)

' 2 2 10 3

9.5 '

"0 -2 -30 1

-6.9'

1 2 20 1

8.2

“1 - 2«“2

1 2 20 1

8.2

>W2 - •<■!

3 1 5 2

8.9

-t^2

0 -5 -55 -1

-15.7

“’S

11 11

3.6

0 -1 -19 0

-4.6

uij +2u'4 ! Wg ~. ŚJW4

U'3 + 7u>.jJ


0    -2 -30 1

1    4    50    0

0 -7 -85 0

0    1    19    0

0 0 8 1

1    0 -26 0

0 0    48 0

0 1    19 0


-6.9

15.1

-22.6

4.6


2.3'

-3.3

9.6

4.6



o

Stąd wynika, że czwarty zakup *i = *2 = *3 = *4 = 1 czyni zadość warunkowi z punktu c) i pozwala na wyznaczenie cen jednostkowych (w złotych), które są równe x = 1.9, y = 0.8, z = 0.2 i t = 0.7.


Przykłady


103


Metody rozwiązywania układów Cramera


Przykład 4.13

Rozwiązać podane układy Cramera metodą eliminacji Gaussa - Jordana:


a)


x + by = 2 -32 + 6y = 15 ’


!x - 2y + 3z =7 3x + y + Az —    5 ;

22 + 5 y + z — 18



x    +    2y    —    3z    =0

4x    +    8y    —    7z    +    t    =    1

|    x    +    2y    —    z    +    t    =    1 ’

[    -x    +    y    +    4z    +    6t    =    0

x + 4y +    2z    -    a    =    3

2x + 9y +    6z    -    2s    -31 =    5

x + 2y -    z    -    s    + 5t =    5

—22 -7y +    z    +    3s    — At =    — 5

—2 — 5y -    z    +    3s    + 6t =    4

Rozwiązanie

Metoda eliminacji Gaussa - Jordana dla układu Cramera postaci AX = B polega na rozwiązaniu tego układu poprzez doprowadzenie jego macierzy rozszerzonej \A\B) do postaci [JjJC], gdzie 1 oznacza macierz jednostkową. Przy przekształceniach stosuje się operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej, co schematycznie można przedstawić następująco

[A\B] SPBPIrl —>[/|X].

Ponieważ wszystkie wykonywane operacje przekształcają, układ równań na układ mu równoważny, więc wektor X pojawiający się przy końcu postępowania jest szukanym rozwiązaniem układu. Kolejność operacji przy rozwiązywaniu naszych przykładów będzie zgodna z algorytmem Gaussa -Jordana sprowadzenia macierzy nieosobliwej do macierzy jednostkowej.

a) Przekształcamy macierz rozszerzoną danego układu równań otrzymując

1 5 -3 6


2

15


VJ2 + 3u>i —>


0 1

’ I 5 0 1

0 '

21

U--2 ' —*

1

u?i —5


1 0 0 1


Ostatni zapis oznacza, że

f 1*2 + 0' y — —3 | 0 ■ 2 + 1 • y =    1’

zatem x = —3, y — 1.

b) Podobnie rozwiązujemy układ z trzema niewiadomymi

1-2 3 3    1 4

2    5 1

-V

■ i

-2 3

-7'

' 1

-2

3

-7'

5

18.

U'2 ~ _>

u>3 - 2wl

0

.0

7 -5 9 -5

26

32

: 7 -

0

.0

1

9

5

~7

-5

26

7

32 J

' U>3

1    -2

0 1

7

10

-7

26

7

0 o


10


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Układy równań liniowych6 102Układy równań liniowych mniejszy od 4, zaś dodanie czwartego liniowo za
84 (110) •    Jeżeli zawartość tlenu w zbiorniku jest mniejsza od 12%, dodanie j
s108 109 3. MACIERZE, WYZNACZNIKI I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH3.1. Działania na macierzach 1. Dane są
s130 131 130 5. Rozwiązać układy równań liniowych: (a) x — y 4- 2z — 4 2x + y — 3z = 6 ( x - 2y + z
MATEMATYKA179 348 VII Macierze Wyznaczniki Układy równań liniowych --— x aII. ai2 at3, a2ly. a22,
MATEMATYKA183 356 VII. Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych kolumny tworzymy minory drugie
MATEMATYKA184 358 vn Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych ZADANIA DO ROZWIĄZANIA 0 0 0 0 0
Dziawgo; Formy kwadratowe, kanoniczna postać formy kwadratowej 1 96    Jednorodne ukł
Dziawgo; Układy równań z wieloma niewiadomymi 2 76 Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi II
Dziawgo; Układy równań z wieloma niewiadomymi 3 78 Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi 78
Dziawgo; Układy równań z wieloma niewiadomymi 4 80 Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi
s126 127 1263.4. Układy równań liniowych 126 1. Stosując twierdzenie Cramera, rozwiązać układ równań

więcej podobnych podstron