Układy równań liniowych6

102

Układy równań liniowych

mniejszy od 4, zaś dodanie czwartego liniowo zależnego równania nie podwyższa tego rzędu do 4.

c) Ceny jednostkowe poszczególnych produktów moglibyśmy wyznaczyć z układu równań o macierzy rzędu 4, np. z układu Cramera. Rząd macierzy układu trzech równań napisanych na początku jest równy

= rz

co zresztą można już było wcześniej wywnioskować na podstawie rachunku przeprowadzonego w punkcie a). Zakup, jakiego powinniśmy dokonać, musiałby się więc składać z ki kostek masła, *2 bochenków chleba, *3 jaj i fc<i litrów mleka, gdzie ki ^ 1, *2 > 1, ki ^ 1, *4 ^ 1, przy czym musi być spełniony warunek

2	2	10	3
1	2	20	1
3	1	5	2
ki	*2	*3	*4

Warunek ten spełniony jest np. dla ki = 6, k₂ = 5, k₃ — 35, *4 = 1. d) Do początkowego układu trzech równań dołączamy czwarte równanie

x + y + z + t = 3,6.

Rozwiązujemy otrzymany układ czterech równań (metodą „kolumn jednostkowych”)

' 2 2 10 3	9.5 '		"0 -2 -30 1	-6.9'
1 2 20 1	8.2	“1 - 2«“2	1 2 20 1	8.2	>W2 - •<■!
3 1 5 2	8.9	-t^^2	0 -5 -55 -1	-15.7	“’S
11 11	3.6		0 -1 -19 0	-4.6

uij +2u'4 ^! Wg ~. ŚJW4

U'3 + 7u>.jJ

0    -2 -30 1

1    4    50    0

0 -7 -85 0

0    1    19    0

0 0 8 1

1    0 -26 0

0 0    48 0

0 1    19 0

-6.9

15.1

-22.6

4.6

2.3'

-3.3

9.6

4.6

o

Stąd wynika, że czwarty zakup *i = *2 = *3 ⁼ *4 ⁼ 1 czyni zadość warunkowi z punktu c) i pozwala na wyznaczenie cen jednostkowych (w złotych), które są równe x = 1.9, y = 0.8, z = 0.2 i t = 0.7.

Przykłady

103

Metody rozwiązywania układów Cramera

Przykład 4.13

Rozwiązać podane układy Cramera metodą eliminacji Gaussa - Jordana:

a)

x + by = 2 -32 + 6y = 15 ’

!x - 2y + 3z = — 7 3x + y + Az —    5 ;

22 + 5 y + z — 18

x    +    2y    —    3z    =0

4x    +    8y    —    7z    +    t    =    1

|    x    +    2y    —    z    +    t    =    1 ’

[    -x    +    y    +    4z    +    6t    =    0

x + 4y +    2z    -    a    =    3

2x + 9y +    6z    -    2s    -31 =    5

x + 2y -    z    -    s    + 5t =    5

—22 -7y +    z    +    3s    — At =    — 5

—2 — 5y -    z    +    3s    + 6t =    4

Rozwiązanie

Metoda eliminacji Gaussa - Jordana dla układu Cramera postaci AX = B polega na rozwiązaniu tego układu poprzez doprowadzenie jego macierzy rozszerzonej \A\B) do postaci [JjJC], gdzie 1 oznacza macierz jednostkową. Przy przekształceniach stosuje się operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej, co schematycznie można przedstawić następująco

[A\B] SPBPIrl —>[/|X].

Ponieważ wszystkie wykonywane operacje przekształcają, układ równań na układ mu równoważny, więc wektor X pojawiający się przy końcu postępowania jest szukanym rozwiązaniem układu. Kolejność operacji przy rozwiązywaniu naszych przykładów będzie zgodna z algorytmem Gaussa -Jordana sprowadzenia macierzy nieosobliwej do macierzy jednostkowej.

a) Przekształcamy macierz rozszerzoną danego układu równań otrzymując

1 5 -3 6

2

15

VJ2 + 3u>i —>

0 1		’ I 5 0 1	0 '
21	U--2 ' —*		1	u?i —5

1 0 0 1

Ostatni zapis oznacza, że

f 1*2 + 0' y — —3 | 0 ■ 2 + 1 • y =    1’

zatem x = —3, y — 1.

b) Podobnie rozwiązujemy układ z trzema niewiadomymi

1-2 3 3    1 4

2    5 1

-V		■ i	-2 3	-7'		' 1	-2	3	-7'
5 18.	U'2 ~ _> u>3 - 2wl	0 .0	7 -5 9 -5	26 32	: 7 -	0 .0	1 9	5 ~7 -5	26 7 32 J

' U>3 —

1    -2

0 1

7

10

-7

26

7

0 o

10