Karolina Wyrwas 5.12 2000

Wydz. I. i K.Ś.-bud.

Rok 1, gr. 8

Doświadczenie 62

Celem doświadczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny soczewek przy użyciu sferometru.

Soczewki

Soczewka sferyczna to substancja załamująca światło, ograniczona dwiema powierzchniami kulistymi o promieniach krzywizny R₁i R₂. Prostą przechodzącą przez środki krzywizn obu powierzchni nazywamy osią główną.

Ognisko główne soczewki skupiającej stanowi punkt, w którym przecinają się po załamaniu w soczewce promienie równoległe do głównej osi optycznej (rys. 1). W ognisku głównym soczewki rozpraszającej przecinają się przedłużenia promieni załamanych w soczewce, padających na nią równolegle do osi głównej(rys. 2). Odległość ogniska F od środka soczewki nazywamy ogniskową soczewki - f.

Rys.1 Rys.2

Ogniskowa soczewki zależy od współczynnika załamania n materiału, z którego jest ona wykonana oraz od jej promieni krzywizn. W przypadku soczewek cienkich ogniskową obliczamy ze wzoru soczewkowego:

1/f = (n-1)(1/R₁+1/R ₂ ) (1)

promień krzywizny wypukłej powierzchni jest dodatni, a powierzchni wklęsłej-ujemny. Wielkość D=1/f [D]nazywamy zdolnością zbierającą soczewki.

Wszystkie promienie wychodzące z punktu P (rys.3) stanowiącego przedmiot, po przejściu przez soczewkę skupiają się w punkcie O zwanym obrazem. Gdy promienie przechodzące są rozbieżne i przecinają się przedłużenia promieni to mamy do czynienia z obrazem pozornym. W geometrycznej konstrukcji obrazów posługujemy się promieniami, których bieg po załamaniu daje się łatwo ustalić:

1.Promień wychodzący z ogniska po załamaniu w soczewce biegnie równolegle do osi głównej;

2.Promień równoległy do osi po załamaniu przechodzi przez ognisko;

3.Promień przechodzący przez środek optyczny soczewki nie zmienia kierunku.

Odległości a i b, przedmiotu i obrazu od środka optycznego soczewki, oraz ogniskowa soczewki f spełniają równanie soczewek:

1/a+1/b=1/f (2)

Dla obrazów pozornych odległość b jest ujemna.

Ogniskowa f układu optycznego składającego się z dwóch soczewek cienkich o ogniskowych f i f złożonych razem, spełnia zależność:

1/f =1/f +1/f (3)

Wyznaczanie ogniskowej soczewki metodą Bessela

Soczewka skupiająca

W równaniu (2) odległości a i b są zamienne, tzn. przy stałej odległości l przedmiotu od ekranu istnieją dwie pozycje soczewki, przy których otrzymujemy ostry obraz. Jeden z nich jest powiększony, drugi-pomniejszony.

Obie sytuacje różnią się między sobą tym, że odległości a i b zamieniają się rolami : a=b', b=a'.

a+b=l i a-b=d (4)

Zależności (4) pozwalają wyrazić a i b za pomocą wielkości l i d. podstawiając do równania (2) otrzymujemy:

f= ( l²- d²)/4l (5)

warunkiem otrzymania dwóch rzeczywistych obrazów jest zależność: l >4f, wówczas d wyznaczone z równania (5) spełnia warunek d² > 0.

Metoda Bessela jest dokładniejsza od pomiaru ogniskowej w oparciu o równanie soczewkowe(2), ponieważ nie znamy dokładnego położenia środka optycznego soczewki i pomiar wprost wielkości a i b może być obarczony błędem systematycznym.

Soczewka rozpraszająca

Soczewki rozpraszające nie dają obrazów rzeczywistych. Dlatego łączymy soczewkę rozpraszającą o ogniskowej f₂ z soczewką skupiającą o znanej ogniskowej f₁ w układ soczewek, który powinien mieć właściwości soczewki skupiającej. Zachodzi to gdy │f₂│> f₁. Następnie w taki sam sposób jak dla pojedynczej soczewki skupiającej wyznaczamy ogniskową f_u.

Przekształcając zależność (3) otrzymamy wzór:

f₂=( f₁* f_u )/( f₁ - f_u ) (6)

z którego po podstawieniu wyznaczonych metodą Bessela odległości ogniskowych f₁ i f_u ,obliczamy ogniskową soczewki rozpraszającej - f₂ .

Wyznaczanie promienia krzywizny soczewki przy użyciu sferometru

Wysokość h czaszy kulistej soczewki możemy mierzyć za pomocą sferometru. Zasadniczym elementem pomiarowym sferometru jest ruchoma, pionowa śruba mikrometryczna lub zegarowy czujnik mikrometryczny o dokładności 0,01 mm. Element pomiarowy osadzony jest w trójnożnej podstawce. Zaostrzone stożkowo nóżki podstawki tworzą wierzchołki trójkąta równobocznego, przez którego środek przechodzi oś śruby

Rys.3

Wiadomo, że promień R kuli ( w naszym przypadku promień krzywizny soczewki), promień podstawy r czaszy kulistej i wysokość h czaszy spełniają zależność:

r² = (2R-h)*h (7)

okrąg stanowiący podstawę czaszy kulistej jest okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym o boku c, utworzonym przez podstawę sferometru. Dlatego zachodzi związek r = c / √3, który po podstawieniu do (7) daje wzór na promień krzywizny:

R=( c²/6h)+(h/2) (8)

Zatem mierząc c i h możemy wyznaczyć promień krzywizny. Wysokość czaszy kulistej jest różnicą między wskazaniem sferometru ustawionego na powierzchni płaskiej i wskazaniem odczytanym po ustawieniu sferometru na jednej z powierzchni badanej soczewki. Przyjmujemy h>0 dla powierzchni wypukłej i h<0 dla powierzchni wklęsłej.

Współczynnik załamania materiału soczewki

Po wyznaczeniu ogniskowej soczewki i promieni krzywizn jej powierzchni możemy obliczyć współczynnik załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka. Przekształcamy w tym celu wzór (1) i otrzymujemy:

n=[R₁*R₂ / f(R₁+R₂)]+1 (9)

Wykonanie doświadczenia

Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej i rozpraszającej metodą Bessela

Odczytuję na ławie optycznej odległość przedmiotu od ekranu - l =130cm. Szukam takiego położenia b₁ soczewki, przy którym na ekranie widzimy ostry obraz powiększony. Następnie szukam położenia b₂, przy którym obraz na ekranie jest ostry i pomniejszony. Czynności te wykonuję trzykrotnie. Obliczam wartości średnie odczytanych wartości oraz różnicę wartości średnich, co daje wartość d=1,08m. ze wzoru (5) obliczam ogniskową soczewki: f₁=0,101m. Łączę soczewkę rozpraszającą o nieznanej ogniskowej ze skupiającą o ogniskowej wyznaczonej poprzednio. Wyznaczam ogniskową f_u układu tak jak w przypadku soczewki skupiającej. Ze wzoru (6) obliczam wartość f₂=-0,225m.

Wyznaczanie promieni krzywizn soczewek

Na kartce papieru odciskam ślady nóżek sferometru. Mierzę suwmiarką odległości odbitych punktów i obliczam ich wartość średnią c=0,024m. Ustalam położenie zerowe sferometru. W tym celu ustawiam go na gładkiej płytce szklanej i odczytuję jego wskazanie - h₀=1,883mm. Następnie sferometr ustawiam na powierzchnie wypukłej soczewki skupiającej. Odczytuję wartość h₁. Pomiar wykonuję trzy razy i obliczam wartość średnią. Obliczam wielkość czaszy odciętej z danej soczewki płaszczyzną utworzoną przez końce nóżek sferometru: h = h₁-h₀ . takie same pomiary wykonuję dla drugiej powierzchni soczewki skupiającej i obu powierzchni soczewki rozpraszającej. Otrzymane wartości ci= i h podstawiam do wzoru (8) i obliczam promienie krzywizn soczewek R₁ i R₂ . następnie ze wzoru (9) obliczam współczynnik załamania światła.

Wyniki pomiarów i obliczeń umieszczam w załączonych tabelach pomiarowych.

Rachunek błędów

Obliczenia wykonuję tylko dla soczewki skupiającej

Błąd pomiaru ogniskowej:

Δf₁=[( l+d )² / 4 l² ]* Δ l ; Δl=2mm

Δf₁=[(1,30m+1,08m)² / 4(1,30m)²]*0,0002m = 1,68*10^-3m

Błąd pomiaru promienia krzywizny

ΔR=│c/3h│Δc+│-(c²/6h²)+0,5│Δh

Δc=max│c-c_i│+0,1mm = 0,0014m

Δh=2*0,00001m

ΔR₁=│0,024m/3*1,943*10^-3m│*0,0014m+│-[(0,024m)²/6*(1,943*^10-3m)²]+0,5│*2*0,00001m = 6,263*10^-3m

ΔR₂=│0,024m/3*(-3,576*10^-3m)│*0,0014m+│-[(0,024m)²/6*(1,943*^10-3m)²]+0,5│*2*0,00001m = 6,263*10^-3m

Błąd pomiaru współczynnika załamania

Δn=(R₂ ²*ΔR₁+R₁ ²*ΔR₂)/[│f₁│*(R₁+R₂)²]+│(R₁*R₂ )/(R₁+R₂)│*(Δf₁ /f₁ ²)

Δn = [(-1,788*10^-3m )²* (6,263*10^-3m) + (0,972*10 ^-3 m)² *(3,272*10 ^-3 m) ] / [│0,101m│* (0,972*10^-3m-1,788*10^-3m)² + │(0,972*10^-3m)* (1,788*10^-3m) / (0,972*10^-3m) - (1,788*10^-3m)│* [1,68*10^-3m / (0,101m)²] = 0,343

Analizując wyniki obliczeń otrzymane po przeprowadzeniu rachunku błędów można zauważyć, że są one bardzo małe, co może świadczyć o poprawnym wykonaniu doświadczenia oraz o jego dokładności.

---