60109 img340 (4)

Korzystając z kryterium Hurwicza, musimy arbitralnie wybrać współczynnik ostrożności y (0 ^ y < 1). W naszym przykładzie y = 0,8. Dla każdej strategii rolnika (rodzaj zboża) stosujemy wzór:

v — y min a_{j + (1 — y) max a_tJ.

Ostatecznie wybierzemy ten rodzaj zboża, dla którego v jest największe. W naszym przykładzie:

a (żyto) = 0,8 • 16,0 + 0,2 • 24,5 = 17,7,

a (pszenica) = 0,8 • 18,0 + 0,2 • 32,0 = 20,8,

a(jęczmień) = 0,8-15,0 + 0,2-26,0 = 17,2.

Rolnik powinien wybrać pod uprawę pszenicę, wtedy bowiem osiągnie przeciętnie 20,8 q z 1 ha. Jeśli y — 1, kryterium Hurwicza jest identyczne z kryterium Walda.

Według kryterium Bayesa najlepszą jest strategia, która daje największą przeciętną wygraną. Dla każdej strategii należy więc obliczyć przeciętną wygraną jako średnią arytmetyczną (zakładamy, że wszystkie stany natury są jednakowo prawdopodobne). I tak:

u(żyto) = (24,5 + 18,0+18,0 + 16,0):4 = 19,12,

u (pszenica) = (18,0 + 32,0 + 24,0 + 21,0): 4 = 23,75,

r (jęczmień) = (15,0+19,0 + 26,0+19,0): 4 = 19,75.

Według kryterium Bayesa rolnik powinien wybrać pod uprawę pszenicę, co gwarantuje mu przeciętny plon z 1 ha 23,75 q.

Kryterium Savage’a spełnia postulat minimalizacji oczekiwanych strat wynikłych z podjęcia przez nas decyzji gorszej niż najlepsza możliwa dla danego stanu natury (z punktu widzenia rolnika). Należy wybrać tę strategię, dla której strata relatywna jest najmniejsza. Pierwszym etapem jest znalezienie macierzy strat relatywnych. Strata jest różnicą między największą wygraną możliwą dla danego stanu natury a wygraną odpowiadającą naszej decyzji. Straty relatywne są zawarte w tabl. 132.

Musimy się liczyć z zaistnieniem najbardziej niekorzystnego dla rolnika stanu natury. Znajdujemy więc dla każdej strategii maksymalną stratę: dla żyta wynosi ona 14,0, dla pszenicy 6,5, dla jęczmienia 13,0. Według kryterium Savage’a rolnik powinien wybrać pod uprawę pszenicę, bo strata w stosunku do najlepszego możliwego stanu natury jest w tym przypadku najmniejsza i wynosi 6,5 q.

Pytania i problemy

1.    Podać sposób znajdowania punktu siodłowego gry dwuosobowej o sumie zero.

2.    Podać sposób rozwiązania gry dwuosobowej o sumie zero w przypadku braku rozwiązania w zbiorze strategii czystych.

3.    Na czym polega redukcja macierzy wypłat?

4.    Czy można sprowadzić grę dwuosobową o sumie zero do programu liniowego? Jeśli tak, to w jaki sposób?

5.    Zdefiniować poznane kryteria stosowane w grach z naturą.

6.    Określić sytuacje, w których powinno się stosować kryterium: a) Hurwicza, b) Bayesa, c) Savage’a.

Zadania

100. Rozwiązać metodą geometryczną grę dwuosobową o sumie zero (tabl. 133). Symbolami A i B oznaczono obu graczy, Sj i s₂ to strategie gracza A, a tj i t₂ to strategie gracza B.

Tablica 133

A ^____^B		*2
Sl	-3	6
s2	2	-4

1.    Sporządzić rysunek.

2.    Z jakimi częstościami powinni stosować swoje strategie gracze A i B?

3.    Który z graczy wygra tę grę?

101. Rozwiązać grę dwuosobową o sumie zero (tabl. 134), gdzie symbolami A i B oznaczono obu graczy, a wektory [^!,x₂,x₃], Y = [Ti>k2>>'3] oznaczają odpowiednio strategie graczy A i B.

Tablica 134

	yi	y2	y3 ,
*1	12	A	6
x2	-3	V	4
x3	2	3	3

1.    Czy gra ma rozwiązanie w zbiorze strategii czystych?

2.    Czy występują strategie zdominowane?

3.    Podać interpretację słowną otrzymanego wyniku.

102. Rozwiązać grę dwuosobową o sumie zero (tabl. 135).

137