Układy równań liniowych4

98 Układy równań liniowych

' 1	-2	1	2	-1 ‘		"1 —2 #	2	-r
0	1	1	3	0		0 11		0
							o
0	0	-8	-22	4	W'4 — —►	0 0-8	-22	4
0	0	-8	-22	3		. 0 0 0	0	-1

Przykład 4.10

Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwiązania układu równań liniowych:

x    +    3y    +    5z    +    7s    +    2t    =    6

—x    +    4y    +    2z    +    7s    +    3i    =    1

2x    +    y    +    5z    +    4s    +    t    =    3

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu mówiącego, że jeżeli układ równań liniowych z n niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań, a jego macierz A ma rząd równy r, to dowolny niezerowy minor macierzy A stopnia r wskazuje nam r zmiennych, które można wyrazić za pomocą n — r pozostałych zmiennych, czyli parametrów. Przeprowadzimy najpierw wstępną analizę macierzy rozszerzonej [d.|/?] układu pozwalającą na ustalenie rzędów oraz wyszukanie odpowiednich minorów. Mamy ^{1 2 3 4 5 6 7}

‘ 1 3 5 7 2	6 ’
-1 4 2 7 3	1	r^2 +j§p
2 15 4 1	3.	.....

6

7

-9

6

1

-4

mianowicie

1 3 2		1 5 2
0 1 Ś		0 1 |
7	ł	7
A		. . 4
' 1 cz		o o li
7		i

1 7 2		3 5 2
0 2-		1 1 ®
7	}	7
„ 4		4
0 0-		O o li,
7		7

3 7 2		5 7 2
_ 5		„ 5
^1 2 7		1 2 - e
„ 4		4
0 0-		0 0-
7		7

Przyjmując kolejno każdy z tych minorów jako podstawę rozwiązania całego układu równań (tj. układu Cramera z trzema niewiadomymi i dwoma parametrami) widzimy, że parametrami mogą być tylko zmienne pozostające poza minorem, a więc z, s lub y, s lub y,z lub x, s lub x,z lub też x,y-

• Przykład 4.11

Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od parametru p:

(V + 2)x -

3 )y 2 y	= p +1 = 2p ^;	^b)l		+ +	py y	+ +	z z	=	1 p 0	;
				+	V	+	pz		P
1		I	[ px	+	py	+	pz	"h	pt	= P
V \			X	+	py	+	pz	+	pt	= P
1			^x	+	y	+	pz		pt	= P
			l X	+	y	+	z	•+*	pt	= P

Rozwiązanie

Układ, w którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera. Każdy przypadek wartości parametru p, dla którego det A = 0 wymaga osobnej analizy zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego.

a) Rozważany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

det A =

2p + 1 p — 3

p+ 2    —2

-p² - 3p + 4 = (1 - p)(p + 4) # 0,

tzn., gdy p —4 i p -A 1 ■ Macierz rozszerzona układu dla p = —4 ma postać

[A\B] =

Stąd wynika, że układ jest sprzeczny, gdyż rz A = 1 < 2 = rz [A\B\. Dla p = 1 mamy

	'3 -2	2'		■3 -2	2'
~	3 -2	2	^u'2 -;f i —*	0 0	0

[A\B] =

więc rz .4 = 1= rz B. Układ równań ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

b) Dla układu rozważanego w tym przykładzie mamy

1    p 1

= 2p(l -p),

det A =

2    1 1

lip

więc ma on dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy p ^ 0 i p 1. Przeprowadzimy teraz analizę układu dla p — 0 oraz p = 1 stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego. Dla p = 0 mamy

{A\B\ =

r 1	0	1	1' 0 0.		r 1	0	1	1 ■			0	1	1 ]
					0 . 0					1
2	1	1		H. - w,^1		1 1	— 1	-2 -1		0	1	-1	-2
L1	1	0								. 0	0	0	1.

Stąd

Więc rozw

rz = 3 < 4 = rz [A\B\. ażany układ równań nie ma rozwiązań.

1

   3    5    7    2

2

0    7    7    14    5

3

0 -5 -5 -10 -3

4

1 3 5 7 2

5

0 1 1 2 |

6

0 0 0 0 ;

7

Stąd wynika, że rzA = 3 = rz [AjB] = r < n - 5. Wyznaczymy teraz wszystkie niezerowe minory stopnia 3 z przekształconej macierzy A. Spośród wszystkich = 10 minorów stopnia 3 niezerowe są tylko minory zawierające piątą kolumnę. Jest ich 6,