228 (51)

.o/228

METODY NUMERYCZNE...

Korzystając z warunku brzegowego - Du (0) = oraz z tego, że i>(/) - 0, mamy

!    i

I «i (x) Zlu /)r+c (x) uv)dx = | /y d.x -rw (0) itó v (0) o    o

Rozważając powyższe równanie dla u i v c V otrzymujemy zadanie wariacyjne dla (10.98) postaci

wyznaczyć taką funkcję u e V, że

a(u,v) = /(*:), veV    (10.99)

gdzie

i    i

a (iu, v) — ( (a (x) Du Dv+c (x'\ uv) dx . I(t) = j fu d.v-f-a (0) «i, v (0)

ó    ó

Zauważmy, że przy wyprowadzeniu równania (10.99) wystąpiły wyrazy zawierające funkcję Du (*) w punktach brzegowych. Dla funkcji u należącej do IV wielkości te mogą być nieokreślone. Dlatego należy je wyeliminować. W tym celu wystarczy przyjąć, że albo funkcja r. jest równa zeru dla x — 0 i x = / albo Du jest dane w tych punktach. W naszym zadaniu uwzględniając warunki brzegowe przyjęliśmy, że v (/) = 0, i dlatego ten warunek wchodzi do definicji V (warunek zasadniczy), a warunek Du (0) = u_c (poboczny) wpływa tylko na postać /(/>). Istotna jest więc również jednorodność warunku zasadniczego.

Przechodzimy do konstrukcji MES odcinkami liniowej dla zadania (10.99). Przestrzeń V_h definiujemy następująco:

V_k = lin [<pj%

Różni się ona od wyżej skonstruowanej przestrzeni tylko tym, że dołączyliśmy funkcję bazową co_c związaną z punktem .r = 0 (zob. rys. 10.9). Jest to konieczne,

X, -h

x_t -=ih

i X

RYS. 10.9

w punkcie .v = 0 bowiem rozwiązanie u jest nieznane. Rozwiązania przybliżonego poszukujemy w postaci

•Ti

1-0