24 (885)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

4/ badana jest próba o liczebności n.

Końce przedziału ufności dla parametru m wyznaczamy ze wzorów: (1.26)

Z, = Xa

oraz Z->=Xa+t,

Przy czym t_a wyznaczamy z zależności: />(|,| >    _a,

t ma rozkład (-Studenta on -1 stopniach swobody.

Model III:

1/ populacja generalna ma rozkład dowolny, ale n jest duże ( co najmniej kilkadziesiąt);

2/ skończona wariancja, nie musi być znana;

Końce przedziału ufności wyznaczamy ze wzoru (1.25), ale zamiast crmożna podstawić statystykę -fs* = s ■

Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego Model I:

1/ populacja generalna ma rozkład N(m, a);

2/ parametr cr nie jest znany;

3/ próba jest mała (n<30);

Przedział ufności wyznaczamy ze wzoru:

(1.27)

nSⁱ •> nS

-< cr~ <

c,    c

2 \

= \-ct

\    2    ^{1 y} .

przy czym c/ oraz c₂ spełniają zależności:

<^L28)    />(*•< c,)=H-

oraz

p{t

\ ^a

^>C2)= — 2/ ₂

dla zmiennej losowej o rozkładzie chi -kwadrat o n-1 stopniach swobody. (Przedział ufności nie jest symetryczny względem s²).

Model U:

1/ populacja generalna ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego; 2/ próba jest duża (n >30).

Przedział ufności wyznaczamy ze wzoru:

CM®

= l-or

< o <

1 +

Ma

fln

1-

yfln

gdzie ii_a jest takie, że p(j[/| > jj_q)= a oraz U ~ N(0,1).

67/ W doświadczeniu otrzymano dane: -0,02; -0,03; 0,2; 0,05; 0,3; 0,25; -0,01. Oszacować na poziomie ufności 1 - a = 0,95 wartość oczekiwaną jeżeli wiadomo, że rozkład cechy jest normalny a wariancja jest znana i wynosi cr = 0,06. Rozwiązanie:

Model I. Obliczamy* :

Y = X, = ![- 0,02 - 0,03 + 0,2 + 0,05 + 0.3 + 0.25 - 0,01 ] = 0.106 n „i 7

Jeżeli poziom ufności wynosi 1 - a = 0,95 czyli 95% tzn., że a = 0,05.

Szukamy p_a, takie aby Ąo\> p_a)= a. Poniżej przedstawiono obliczenia:

2P(U > fi_a)= a:    p(u>p_c)=ĆL- 1 -P(U<M_a)=j- P{U < pJ=l-y;

/■'(/ij= 1-0,025 = 0,975; p_a = 1.96.

Do obliczenia końców przedziału ufności wykorzystamy wzory (1.25). Stąd:

z. = 0.106 - 1.96 •    ; _oraz z₂ = 0,106 + 1.96 • ----- •

‘    2.646    ²    2,646

Ostatecznie przedział ufności ma postać: (-0,076; 0,288).

68/ Z populacji o rozkładzie normalnym N(m; 0,3) pobrano 10-elementową

próbą: 2,2; 2,4; 2,17; 1,92; 1,99; 1,97; 1,98; 2,01; 2,12; 2,15. Wyznacz

przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności 1 - a = 0,9.

10

Y *, = 2,091

Rozwiązanie:    _

Model I. Obliczamy X . X = —

Dla a = 0,1:    ¹⁰

F(jt7|>_/i„)=0,l; 2P(U > p_a)= 0,1; P(U >pj= 0.05; P(U<_Ma)= 0,95

F<Ji_a) = 0,95 p_a = 1,65.

Przedział ufności wyznaczamy na podstawie wzorów (1.25).

f    /Ot    /¥ t

2,091 -1,65 • ^7=- ;2,091 + 1,65

.....(1,8039;2,3781)

VTo    VTo J czyli

69/ Z populacji o rozkładzie normalnym, pobrano 6-eIementową próbą i otrzymano wyniki:-0,6; -0,9; 0,62; 0,73; 0,81; -0,5. Na poziomie ufności 99%, oszacować wartość oczekiwaną, a na poziomie 1 - a = 0,9 wariancją. Rozwiązanie:

Model II. Końce przedziału ufności dla średniej wyznaczymy ze wzoru (1.26). Obliczamy X oraz s².

X = ^f_Jx, = 0,026 6 /=!

s² =    (*, - X) = 0,496 -+ i = 0,704

6 ,=i

-Al-