384 2

384

8. Równania różniczkowe

gdzie Vj(*) jesi funkcją przedziałami liniową, taką. że >y_t(x_j) = 6_iJ. a <$₀-jest delta* " neckcra (zob. też funkcje sklejane, § 4.6). Funkcję „trójkątną” pokazano na rys ^ Aby otrzymać interpolację wyższego stopnia powinniśmy wprowadzić węzły | ' V wewnątrz elementu. Wyrażenie podobne do (8.6.20) otrzymuje się z wzoru interpola^-* nego Lagrange’a. Funkcje są przedziałami wielomianowe; każda z nich odpow^ jednemu w'ęzłowi.

Funkcje określone za pomocą interpolacji liniowej w oczkach siatki trójkątnej (zob. (7.7.15)) też można wyrazić w postaci (8.6.20)), gdz e każdy składnik p, odpowiada innemu węzłowi Pi i ^(/’_y)=«5_i,. Przy tym    0 tylko wted , gdy x należy do elementu za

wierającego P_t (rys. 8.6.8). Z oczywistych powodów y nazywa się funkcją piramidalną. W przypadku interpolacji kwadratowej w oczkach siatk trójkątnej wzór (7.7.16) prowadzi do podobnego wyrażenia, jeśli drugie różnice wyraża się przez, wartości funkcji.

Rozważmy teraz rozwiązanie w sensie metody elementu skończonego dla liniowego zagadnienia brzegowego

Au(P)=f. PeD, u (P)=0. PedD.

Elementy skończone przebiega się kolejno 1 oblicza się wkład każdego z nich do A, i U z układu (8.6.16). W mechanice strukturalnej A_K nazywa się macierzą sztywności. Zauważmy, że dla dużych n macierz A„ jest rzadka, gdyż (w_i% Ay_}) 'yest różne od zera tylko wtedy, gdy istnieje element zawierający i P_t, i P_}. Użyteczne są tu równości podobne do (8.6.18$ są one nawet niezbędne, jeśli funkcje iy, mają nieciągłe pierwsze pochodne na brzegu elementów.

Aspekty' fizyczne i matematyczne metody elementu skończonego omówiono w - . kach Stranga i Fixa (126] i Odena [120]. Rozprawa George’a [109] dotyczy realizm¹ komputerowej. Zob. też § 5.4.4.

całko**

8.6.6. Równam*

Zagadnienia wyrażone za pomocą równań różniczkowych cząstkowych kiedy przekształcić na równania całkowe. Wiele modeli matematycznych — ⁿP- '^v statystycznej — prowadzi wprost do równań całkowych lub całkowo-różniczkowy^c^•