244 2

244

6. Równania nieliniowe

gdzie a jest wektorem stałym, a h jest parametrem takim, źe |A|«1. Jeśli *(*) ma niczone pochodne cząstkowe, to dla dostatecznie małych h metoda iteracyjna

(6.9.4)    x^lk+l)=a+h<p(x^(ki) (k = 0. 1,...)

na pewno spełnia kryterium (6.9.3).

6.9.2. Metoda Newtona i jej modyfikacje

Metodę Newtona również można uogólnić na n wymiarów. Dla n=l wyprowadziliśmy tę metodę z wzoru Taylora:

/(*) =/ (*k)+(x- x_k )f'(x _k) + O (|x - x*|²).

Pomijając składnik kwadratowy, otrzymujemy (dla /(x)=0) metody iteracyjną

/'(*fc)(**+i -**)+/(**)-0    (/c = 0, l. ...).

Analogicznie, wzór Taylora w n wymiarach daje

/(x)=/(V‘*)₊/(x'‘>)(x-r'*>)+0(||*-*<‘>||¹),

gdzie /'(x) jest tzw. macierzą Jaeobiego (nx/i, oznaczaną czasem symbolem J) o elementach

flM)

³ 9xt

(Ki JŚn).

Prowadzi to do metody Newtona w n wymiarach:

(6.9.5)    /'(x^a,>)(x^(i:*^,,-x‘^fc))+/(x^<k))=6>.

Jest to układ równań liniowych względem x^(fc+1>; jeśli macierz f'{x^ay) jest nicosobliws, to można go rozwiązać metodami z rozdziału 5. W przypadku bardzo dużego n i macierzy /'(*) rzadkiej mogą być użyteczne metody iterr.cyjne Metoda Newtona w n wymiarach jest metodą o wykładniku zbieżności równym 2, tzn. istnieje stała C~C{p) taka, że dra każdego    spełniającego nierówność ||x^w—*|| śp mamy

I jx’*^T —a|j<Cj|x⁽' —ac||².

Metoda jest zatem zbieżna, jeśli tylko x^<0>jest dostatecznie bliskie pierwiastka a (zbb. f Każdy krok metody Newtona wymaga rozwiązania układu liniowego dużych n może być trudnym zadaniem. Prócz tego, w każdym kroku trzeba mentów macierzy    Może to być kłopotliwe, jeśli te elementy nie mają prort^

funkcyjnej. Jak wcześniej zauważono, właściwsze może być obliczanie nowej macierzy / \    ,

tylko od czasu do czasu, tzn. używanie równań

/'(x^,p,)(x^a+,>-x⁽⁴>)+/(^»)=0 (k=p,p+ I. ..., p+m).

Pochodne cząstkowe występujące w ^-wymiarowej metodzie Newtona można przybliż*^ podobnie jak to zrobiono, wyprowadzając metodę siecznych. Otrzymuje się w ten .