344 2

344

8. Równania różniczkowe

y(x. h)=y(x)+c_l(x)h²+c₁(x)h* +...

(jak zwykle, pomija się tu skutki błędów zaokrągleń i przyjmuje się pewne założenia o roi niczkowainości funkcji /). To rozwinięcie pokazuje, że błąd globalny jest równy o (ł* i że wyższą dokładność można otrzymać za pomocą ekstrapolacji Richardsona, z nagłówkami xiA, ... w schemacie (7.2.13).

Istnieją też jednak — oprócz ekstrapolacji Richardsona — inne sposoby polepszania dokładności opisanej wyżej metody. Oto przykłady:

(a) Niejawna poprawka różnicowa (metoda Cowella):

Metoda jest też znana pod innymi nazwami, np. jako metoda Numerowa. Dostatecznie dokładną procedurę startu dla tej metody podano w zadaniu 8 do tego paragrafu.

(b) Opóżniotuz poprawka różnicowa (zaproponowana przez Foxa). Oblicza się najpierw ciąg {>’„} z równania różnicowego (8.3.19) (lub postaci sumowej). Następnie oblicza się poprawki C.=^A² (/„+, -2/*„+/--1) > tworzy się ulepszony ciąg {£,} spełniający równanie

różnicowe

>'■+1 - 2y_m-+y_H -!» h ²f(x„, y,)+C„.

Zauważmy, że pierwszy ciąg, tj. {>•„}, był użyty do obliczenia C_n. To postępowanie można powtarzać, można też stosować bardziej wyszukane wzory' na poprawki C_n.

(c) Poprawka różnicowa wsteczna — np.

>’■ + ! “    + JPn - l ~h²Lf_B + JiUn ~ 2/„ _ , +/„ _ ₂)] .

Wspólną podstawą dla metod (a) i (b) jest to, że 'Ji²    /._,) jest dokładnym

oszacowaniem błędu lokalnego obcięcia przybliżenia różnicowego z (8.3.19). W rzeczywistości błąd globalny rozwiązania tworzonego tymi metodami wynosi CKJt⁴)- Oszacowani e użyte w (c) jest mniej dokładne, svobec czego błąd globalny metody (c) jest równy aż 0(h²). Wyższą dokładność okupuje się bardziej skomplikowanymi obliczeniami: w (b) trzeba rozwiązywać dwa równania różnicowe.

Metodę Cowella można stosować w następujący sposób. Niech będzie y_t— łan** Równanie różnicowe przybiera więc postać podobną do (8.3.19):

(8.3.23)

(8-3.23)    ti,₊₁-2u.+u,__I*A²/_-,

choć dla obliczenia /„ trzeba rozwiązać względem y„ równanie

cedurą startową. Do metody Cowella można stosować ekstrapolację Richardsona główkami jkj, z id,...