45 (75)

P ₁    J O((£ecfto^l »    \

tZ Zastosowania całek w fizyce    ^^u

' P%<A 5 i °Uj Z V\

Masa obiektu materialnego

Jeżeli p jest gęstością rozkładu masy, to:

Jp(x, y,z)dl = M - masa łuku materialnego L; ^    '^l<* ^v

L

j]p(x,y,z)dS = M - masa płata materialnego S; ^

s

j]p(x,y)dxdy = M - masa płaskiego obszaru materialnego D;

D

jjjp(x,y,z)dxdydz = M - masa bryły materialnej V.

v

Jeżeli <)=const., to obiekt materialny nazywamy jednorodnym.

Momenty statyczne

Z mechaniki wiadomo, że moment statyczny układu n punktów materialnych Pi, P₂, ... ,P_n ^r ~ o masach mi, m₂,...,m_n względem płaszczyzny n określony jest wzorem:

^Mn =Z^d*(^Pi'ⁿ)^mi,

j=1    >disi c pf    ew ą cli £>^l

* ^L

Gdzie d (Pi,n) oznacza tzw. względną (opatrzoną znakiem) odległość punktu Pj od płaszczyzny n.

Biorąc pod uwagę definicję odpowiedniej całki Riemanna, możemy określić moment statyczny bryły materialnej V o gęstości rozkładu masy p następująco:

M_n = JJJd*(P(x, y,z),n)p(x, y,z)dxdydz.

V

Jeżeli w powyższym wzorze całkę potrójną zastąpimy całką powierzchniową niezorientowaną lub krzywoliniową nieskierowaną to otrzymamy odpowiednie momenty względem płaszczyzny, np..:

M_n = Jd* (P(x, y, z), n) p(x, y, z)dl,

L

gdzie L jest łukiem materialnym o gęstości masy p.

Jeżeli w powyższych wzorach odległość zastąpimy kwadratem odległości, to otrzymamy wzór na moment bezwładności, np. wzór

^Bn = jj[d(P(x,y,z),n)fp(x,y,z)dS

S

określa moment bezwładności płata materialnego S o gęstości rozkładu masy p.

Jeżeli zamiast płaszczyzny weźmiemy prostą L lub punkt Po, to otrzymamy moment bezwładności obiektu materialnego względem prostej lub względem punktu.

W praktyce najczęściej wyznaczamy momenty statyczne lub bezwładności względem płaszczyzn układu, osi układu lub początku układu współrzędnych.

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki 45