513 2

513

Rozdział 8

awna metoda różnic centralnych” i metoda Cowella dają tę .samą lewą stronę, natomiast prawa strona jest odpowiednio równa/, i    W drugim przypadku dokładność

wynosi 0(h*), a w pierwszym i dla metody elementu skończonego 0(/i²).

O) a,j=(pri, Vj)+(gVi, Pj)- Jeśli p, g. f traktuje się jako stałe w poszczególnych elementach, to otrzymuje się równanie różnicowe

(~Pi 1/2 +£A²0i-t/2)«;-i + O. -l/2+Pl-l/Z    +

1/2 1/2.1

+('-Pi+l/a+$k²0i«-i/2)^ttm* i^Ut-

19. (a) cosl.v + _>/)=cos* cosy—sinjcsiny. Rząd = 2.

u(x)=c, cosx+c₂sinx.

ku(x)^nc_t cosx-Kc₂$iax; wartości własne=±n.

(b)    u (x) = 1.

(c)    r.c_x cos x-nc₇ sm x=cosx+ax.

Rozwiązanie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy a=0. Stąd = \{n, c₂=0.

Rozwiązanie ogólne: u (*)=(!/«) cos x-rv (*), gdzie v(x) jest dowolną funkcją ortogonalną do cos* i sin*.

20. Tak, gdyż (?#,    Pi) i

{fu K<Pj)= fj K(x, y)to(x)9j(y)<ixdy= ff K(y. x) ęlx)ęj{y)dxdv =

= ff K(x. y)?/>') <?/x)dxdy=i<p_}. Kfi).

21. X[=hi, Nh=\. Używamy wzoru trapezów".

*■+/«),

du

dt

gdzie elementami macierzy K są liczby

_K fłWC^^^a-OlubJ-AO.

^,J j/iX(x,.Xy) (w przeciwnym razie).

/^T(0-[/C* o - 0./(*i.0...../<*#.*)]•

Próbujemy różnych wartości h i używamy ekstrapolacji Richardsona. Równanie różniczkowe można rozwiązywać dowolną metodą z § 8.3.

22. x_t=a+(j)-a)ilN, K_tJ(u ,v)—K(x₄,x_s.u,v). f=f(x_l).

^ut~ lL^A}^Kii{^ui> «/W<-i

Liczby .4, są współczynnikami kwadratury, np. A_}=\ (ó-a)/.V, jeśli >=0 luby = AT i Aj = ={b~a)(N w przeciwnym razie.

Można zastosować jedną z metod typu Newtona (§ 6.9). Do otrzymania początkowych przybliżeń może być użyteczne zanurzanie, polegające tu na zmianie K na pK, gdzie p rośnie od 0 do l.