7 (337)

po cXte / -• J- /^e '^z

Pochodną rzędu drugiego możemy zapisać w postaci macierzy:    A ■i "lć CA Ić&uO.

f "(X)=

d²f . .

dx_Jdx_i

JJg

- macierz Hessego.

Analogicznie określamy pochodne wyższych rzędów, które oznaczamy:

-.gdzie m=Y^^kj, kje{0,1,...,n}.

M

d^mf

dx['dx^ ...dx_n

Przykład 7.

Wyznaczyć pochodne do rzędu trzeciego włącznie funkcji f, gdzie f(x,y)=e^2xy²+x²y.

~f fc y) - £> a¹* X -4 i x y / i- * ^vy ^ ** J

, // i    z    / "    /    ^ x , ,

/ uy iyx-^Li‘²

'XX

//

fxy    fyy = ^e

i X

/

2 X.

/x*y y-f z

/xyx ~ $ £ y + Z- wtpwi

1‘"    =, ^ e

Axyy    ¹

fyxx =***>< * fyxy

x -i

fh--0

""    = ł €

2X

2 x

a X

.«/    2 X

//>^v'^; *

x ^ Y

-f ^><2? X

Twierdzenie 3 (Schwarza).

Jeżeli funkcja f: X^R, Xc=$Rⁿ ma pochodne mieszane rzędu k i są one ciągłe w punkcie aeX, to te, które różnią się tylko kolejnością różniczkowań, są równe w tym punkcie.

Różniczkę rzędu drugiego określamy jako różniczkę pierwszej różniczki: d²f :=d(df).

Ogólnie: dⁿf :=d(dⁿ‘¹f).

Dla funkcji dwóch zmiennych f(x,y) mamy:

d²f = ....= f_Xxdx²+2f_xydxdy+fyydy².

ⁿ fjpy

dⁿf=Z

k=1

dⁿf

v^ky

dx^n_k3y^k

dx^{n k}dy^k , dy^k:=(dy)^k.

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki

■ ~    d-f -/Xc/Wx' dy

d¹ - dCcl-f) - d(f< dx-< f *■ dy) -

' (fx Jy +-fydy\d)c -t ({idxif-y'<iy)ydy

- | fec^dolj-

—/W (dx) ⁴ lf*y drdy ^J Ay (A)

'a ~t ct ^ /a X (pl y)