CCF20090321064

Mógłby ktoś zaoponować twierdząc, że dalej położone składniki tej sumy odpowiadają zdarzeniom bardzo mało prawdopodobnym, które zaszłyby tylko wtedy, gdy rozegrano by niezmiernie wielką liczbę partii. Ale wolno nam przecież przyjąć, że liczba partii jest tak wielka, iż na każdy składnik owej sumy przypada dostatecznie wiele partii (chociażby 2ⁿ dla n-tego składnika), ażeby odpowiadające mu zdarzenie miało poważne szanse realizacji. Ponieważ postanowiliśmy abstrahować tu od wszelkich empirycznych okoliczności, takich jak ograniczona długość życia graczy, i przyjęliśmy, że żadne takie okoliczności nie ograniczają liczby rozgrywanych partii, przeto otrzymamy dowolnie wielką w^Tartość E, o ile założymy odpowiednio dużą liczbę rozgrywanych partii. Wolno zatem powiedzieć, że E jest nieskończone w matematycznym sensie tego słowa, gdyż jest wielkością zmienną, która może przewyższyć dowolną wskazaną liczbę.

Zupełnie inaczej jest w przypadku E'. Jak o tym była mowa w § 58, E' jest iloczynem dwóch czynników: prawdopodobieństwa i wygranej, z których pierwszy dąży do zera, drugi zaś wzrasta nieogra-niczenie — gdy n dąży do nieskończoności. Gdy w algebrze napotyka się taki iloczyn, mówi się, że jest to iloczyn o wartości nieokreślonej. Najczęściej można za pomocą pewnych prostych metod ustalić jego prawdziwą wartość; w naszym przypadku byłaby to wartość nieskończona. Ale, jak się o tym zaraz przekonamy, przejście do granicy nie jest w tym przypadku usprawiedliwione, a to ze względu na swoisty charakter obu czynników.

Pierwszy czynnik stanowi bowiem prawdopo-' dobieństwo, które dąży do zera, gdy n rośnie nie-ograniczenie; prawdopodobieństwo to staje się równe zeru przy n nieskończonym, co oznacza,, że niemożliwą jest rzeczą, aby Paweł wygrał wszystkie rzuty. Niemożliwość ta pozostaje fak-

'

tem bez względu na liczbę rozgrywanych partii; prawdopodobieństwo tego, że któraś z partii będzie się przeciągać w nieskończoność, jest zawsze równe zeru, niezależnie od liczby partii. Można nawet wykazać,- że prawdopodobieństwo to pozostałoby równe zeru i wtedy, gdybyśmy przyjęli, że można faktycznie rozegrać nieskończenie wielką serię rzutów h

Ta ostatnia kwestia zresztą nie jest wcale istotna dla naszej konkluzji: jakakolwiek była liczba N rozgrywanych partii, jest pewne, że Paweł nie wygra nigdy, ponieważ zawsze nadejdzie moment, kiedy Piotr wygra rzut i zwycięsko zakończy partię. Toteż aby obliczyć E', nie potrzebujemy się trudzić szacowaniem hipotetycznej wygranej, przez którą mnoży się prawdopodobieństwo. Skoro prawdopodobieństwo to jest równe zeru, to również nadzieja matematyczna E' jest równa zeru, podczas gdy E rośnie nieograniczenie, a tym samym nieograniczenie rośnie różnica E ~ E^f.

Nadzieja matematyczna Piotra jest zatem nieskończona, co znaczy, że jest ona tym większa, im większa jest liczba partii. Nadzieja ta wynosi w przybliżeniu n, gdy liczba partii wynosi 2ⁿ, rośnie ona zatem bardzo powoli w porównaniu ż liczbą partii. A jednak ż matematycznego punktu widzenia można uważać ją za nieskończoną. Owa nadzieja matematyczna rośnie bowiem proporcjonalnie do logarytmu czasu — a jak to założyliśmy, zagadnienie ujmujemy tu w sposób abstrakcyjny i nie boimy się wymyślić gry, która ciągnęłaby się tak długo, że niepodobna sobie tego wyobrazić.

Okazuje się, że wystarczy wprowadzić nieskończoność potencjalną, a straci ważność twierdzenie, że gra jest sprawiedliwa, jeżeli partie składają się ze skończonej liczby rzutów, z których każdy daje obu graczom jednakowe szanse. Twierdzenie to

1 Patrz: E. Boreł Elements de la thćorie des ensembles oraz E. Borel Elements de la theorie des probabilites.

133