CCF20090730040 tif

82 Podobieństwo stosunków VI

muszą istnieć takie dwa, elementy z i w, że x będzie w stosunku. >8 do z, y w stosunku 8- do w, z zaś będzie w stosunku Q dó w. Jeżeli zachodzi to dla każdej takiej pary elementów, jak x i y, i jeżeli zachodzi zależność odwrotna z każdą taką parą elementów, jak z i w, to jasne jest, że każdemu przypadkowi, w którym zachodzi stosunek P, odpowiada przypadek, w którym zachodzi stosunek Q, i wice versay a to właśnie chcemy zapewnić za pomocą naszej definicji. Możemy usunąć pewną rozwlekłość przedstawionej powyżej szkicowo definicji, gdy zauważymy, że kiedy są spełnione powyższe warunki, to stosunek P jest tym samym, co iloczyn stosunków 8 i Q oraz odwrotności S, to znaczy: krok P od x do y można zastąpić przez następujące kolejne kroki: krok 8 od x do 3, krok Q od 3 do w i krok 8 — wstecz od w do y. Możemy zatem sformułować następujące definicje:

Mówimy, że stosunek 8 jest ^korelatorem^ lub „korelatorem porządkującym¹'' dwóch stosunków P i Q, jeżeli 8 jest stosunkiem jedno-jednoznacznym, ma pole stosunku Q za swoją przeciwdziedzinę i jest taki, że P jest iloczynem z 8 i Q oraz odwrotności 8.

O dwóch stosunkach P i Q mówi się, że są podobne, jeżeli jest co najmniej jeden korelator stosunków P i Q.

Przekonamy się, że i te definicje dają to, co, jak wyżej ustaliliśmy, jest niezbędne.

Przekonamy się, że gdy dwa stosunki są podobne, to mają one wspólne wszystkie te cechy, które nie zależą od tego, jakie konkretne elementy należą do ich pól. Tak na przykład, jeżeli jeden ze stosunków implikuje różność, to implikuje ją i drugi; jeżeli jeden jest przechodni, to i drugi jest przechodni; jeżeli jeden jest spójny, to i drugi jest spójny. Stąd, jeżeli jeden jest porządkujący, to również i drugi jest porządkujący. Ąlbo też, jeżeli jeden jest jedno-wieloznaczny lub jedno-jednoznaczny, to i drugi jest jedno-wieloznaczny lub jedno-jednoznaczny; i tak dalej dla wszystkich ogólnych własności stosunków,. Nawet twierdzenia, dotyczące konkretnych elementów pola stosunku, choć mogą nie być prawdziwe, gdy je zastosujemy bezpośrednio do stosunku podobnego, to jednak zawsze dadzą się przetłumaczyć na twierdzenia, które są do nich analogiczne. Takie rozważania prowadzą nas do zagadnienia, którego znaczenie w filozofii matematyki nie zostało dotychczas bynajmniej dostatecznie uznane. Zagadnienie nasze można sformułować jak następuje:

Niechaj będzie dane jakieś twierdzenie w języku, którego gramatykę i składnię znamy, lecz nie znamy jego słownika; jakie są wówczas możliwe znaczenia takiego twierdzenia i jakie są znaczenia nieznanych, wyrazów, które by uczyniły to zdanie prawdziwym?

Zagadnienie to jest ważne dlatego, że‘przedstawia ono, znacznie dokładniej niż można by przypuszczać, stan naszej wiedzy o przyrodzie. Wiemy, że pewne zdania naukowe — które w najbardziej posuniętych naprzód naukach są wyrażone w symbolach matematycznych — są mniej lub więcej prawdziwe. Lecz jesteśmy bardzo niepewni co do interpretacji, jaką należy nadać terminom, które występują w tych zdaniach. Znacznie więcej wiemy {by użyć na chwilę dwóch staromodnych terminów) o formie na-