CCF20140115016

/ Stclan Turnau

Jednocześnie jednak dobrze wiadomo, że osiągnięcie zadowalających wyników w zakresie umiejętności rozwiązywania zadań nawet w jej wąskim, tradycyjnym rozumieniu jest trudne. Przy tym obowiązujący system nauczania żąda, by każda z podstawowych umiejętności wymaganych od ucznia była określona w sposób umożliwiający łatwo ocenę jej opanowania. Dlatego poniższe propozycje nie będą zawierały radykalnej zmiany dotychczasowego podejścia do zadań tekstowych, ale tylko jego modyfikację skierowaną ku głównemu celowi dydaktycznemu: ich rozwiązywaniu. W tym ustępie sformułujemy pewne ogólne zasady doboru i kolejności zadań, w następnych omówimy niektóre rodzaje zadań, metody ich rozwiązywania i metodykę oraz organizację pracy z uczniami.

Podstawowy zbiór zadań, które będą przedmiotem pracy uczniów na lekcjach i w domu, zawarty jest w podręcznikach i zeszytach ćwiczeń. Nie mogąc zmienić ani treści, ani sformułówań tych zadań, możemy jednak odpowiednio dobierać ich kolejność, dostosowując ją do przyjętego celu. Dążyć będziemy mianowicie do tego, by dwa zadania rozwiązywane jedno po drugim miały często różne modele matematyczne, a więc różne były sposoby ich rozwiązania. Taka kolejność zadań będzie przeciwdziałać przedwczesnemu schematyzowaniu przez uczniów sposobów rozwiązywania, będzie stwarzać im okazję do wielokrotnej autentycznej matematyzacji opisanej w zadaniu sytuacji. Na przykład po cytowanym wyżej zadaniu (7), którego modelem matematycznym jest równanie

x + 9 = 20,

można rozwiązać z uczniami zadanie

(8) W 8 rzędach rośnie po tyle samo drzew owocowych. Razem jest 96 drzew. Ile drzew rośnie w każdym rzędzie?

(tP3. TJ], str. 40), które w zmatematyzowanej postaci przyjmie postać równania, np.

8 • x — 96.

Przykład ten ilustruje jednocześnie drugą zasadę, której będziemy starali się przestrzegać: zasadę kontrastowania. Sformułowania zadań (7) i (8) mają pewne cechy wspólne, które mogą przy powierzchownej lekturze nasunąć myśl, że i sposób ich rozwiązania będzie taki sam: tu są dwie półki — tam 8 rzędów, tu i tam dana jest łączna liczba przedmiotów (20 książek, 96 drzew), tu pytamy o liczbę książek na półce ■— tam o liczbę drzew w rzędzie. A tymczasem, wbrew tym zewnętrznym pozorom, opisy matematyczne tych dwu sytuacji kontrastują ze sobą: tu występuje suma, a tam iloczyn. (Co prawda, z wyższego punktu widzenia równania te ujawniają też podobieństwo: mając tę samą budowę różnią się tylko występującym w nich działaniem; tej sprawie można jednak poświęcić uwagę dopiero w wyższych klasach). Dzięki temu kontrastowi, a także ewentualnemu błędowi popełnionemu przez uczniów zwiedzionych pozornym podobieństwem obu zadań, lepiej uświadomią oni sobie odmienność każdego z nich, odmienność ich matematycznego opisu i sposobu rozwiązania. Tym uważniej będą analizować zadania, szukając dla nich właściwych modeli matematycznych.

Rzecz jasna, uczniowie będą też stopniowo uczyli się rozpoznawać prawdziwą analogię między zadaniami i będą starali się z niej korzystać, poszukując sposobu rozwiązania. Będzie wówczas naturalne i pożyteczne

Zadania tekstowe i stosowanie pojęć matematycznych

/ 7

VJ1

pomóc im te analogie bliżej poznać i określić. Sformułowane wyżej zasady mają na celu jedynie opóźnienie momentu pojawiania się tej strategii rozwiązywania zadań, które zaczyna się od określenia typu zadania. Opóźnienie, dające z jednej strony czas na naukę swobodnej matematyzacji i pozwalające z drugiej strony na zebranie przez uczniów doświadczeń, umożliwiających im samodzielne dostrzeżenie analogicznej struktury zadań i samodzielne (choć pod kierunkiem nauczyciela) wypracowanie ogólnych sposobów rozwiązywania dla zadań jednego typu.

Nigdy jednak nie należy pozwolić uczniom na stworzenie sobie przekonania, że każde zadanie tekstowe jest analogiczne do jednego z wcześniej przerobionych i może być wobec tego rozwiązane jednym ze znanych już sposobów. Jako trzecią zasadę doboru zadań przyjmiemy więc zasadę regularnego wprowadzania na lekcjach zadań nietypowych, tj. takich, do których nie daje się zastosować żaden z poznanych wcześniej sposobów rozwiązania. Kilka przykładów takich zadań znajdzie czytelnik w ustępach 7.6.8 i 7.6.9.

7.6.5.    Zadania proste i złożone

Większość występujących w podręcznikach zadań tekstowych można podzielić na trzy rodzaje: zadania proste, zadania złożone łańcuchowo i właściwe zadania złożone.

Zadania proste to te zadania, których model matematyczny zawiera jedno tylko działanie arytmetyczne wiążące niewiadomą z dwiema danymi liczbami. Zadania (7) i (8), omówione w poprzednim ustępie, są przykładami zadań prostych.

Zadania złożone łańcuchowo dadzą się w naturalny sposób rozłożyć na ciąg zadań prostych taki, że liczba znaleziona jako wartość niewiadomej jednego zadania prostego wchodzi jako d a-na do następnego zadania w łańcuchu. Rozważmy jako przykład zadanie z [P3. TJ], str. 107:

(9) Do sklepu galanteryjnego dostarczono 300 chustek do nosa w kompletach po 6 sztuk. Po pewnym czasie z tej dostawy zostało tylko 13 kompletów. Ile kompletów sprzedano?

Niewiadomymi w zadaniu są: liczba sprzedanych kompletów (x) i — niewiadoma pomocnicza — liczba wszystkich dostarczonych kompletów (y). Zadanie rozkłada się więc na następujące dwa zadania proste:

1)    Do sklepu galanteryjnego dostarczono 300 chustek do nosa w kompletach po 6 sztuk. Ile kompletów dostarczono?

2)    Do sklepu dostarczono y kompletów chustek do nosa. Po pewnym czasie z tej dostawy zostało tylko 13 kompletów. Ile kompletów sprzedano?

Naturalnym modelem matematycznym dla zadania (9) będzie więc para równań:

6 • y — 300,    13 + x = y.

(W pierwszym równaniu jest tylko jedna niewiadoma!) Rozwiązanie zadania złożonego łańcuchowo wymaga więc:

1) wyodrębnienia i ustawienia we właściwej kolejności wchodzących w jego skład zadań prostych,