DSC07127 (5)

182

Całki nieoznaczone

cos ln x x

dx

ln * — i ±dz = dl

I

cos tdt = sin i+C = sin ln x+C.

e)    J x\

«*+! = « 3xdx = dl

= |\/(*^a + !)’ + C = | (*³ + l) V*³+l+ C.

^J 7 3 + 2c

dx 2cosx

3 + 2 coa x = t —2 sin rdx = cfC

s

= -Iln|t| + C:

—— ln(3 + 2 cos i) + C.

$ J VT+i=⁼

-+c.

^h) /:

(fx

^/< + «-*' =« -Ił^-1**

v/< + «"**

VI⁵ —2

-    J2^arcŁg VŹ^+C

\^J    *_

= ^^arCtS"^

y/x*-2    '    1    /*³ — 2 , _

^{+ C=}^^arclgV-2~^+a

/" X* di

J mmm

= i /    J——T- = -r arcsiii t+C = 4 arcsinx^<+C7.

4j Vl -1¹    4    4

Przykład 7.4

Obliczyć podane całki nieoznaczone:

a) J\sinx\dx,    ^b) J\x^ł-x\dx-,

11K “2| dx;    d) yin(l + |x|) dz.

Przykłady

183

Rozwiązanie

każ-

Dla

a) Zauważmy najpierw, że funkcja |sinx| jest ciągła na |—i, ij, zatem istnieje całka nieoznaczona tej funkcji na powyższym przedziale. Gałkę tę obliczymy osobno na każdym z przedziałów ^——, oj, ^0, i otrzymane funkcje odpowiednio „sklejamy”. x€ J— ^,oj mamy

J |sinx| dx = — Jśinx dx = cosx + Ci,

adlax€ 0

J |sinx| dx = Jsini dx = -cosx + Cj. Stale Ci, Ca należy zatem dobrać w ten sposób, aby funkcja

F(x)=<	cosx + Ci dla x €	i 7rl
	— cos x + Cj dla x€	m

była ciągła w punkcie xo = 0. Zauważmy, że z jednej strony F(0) = 1 + Cu a z drugiej F(0) = -1 + Ca, zatem Ca = Ci + 2. Ostatecznie kładąc C\=C otrzymamy

r	cosx + C dla x£	M TT 1
/ |sinx| ilx = <
^]	— cosx + 2 + C dla x£	IS|

b) Zauważmy najpierw, że funkcja |x³ — x| jest ciągła na R, zatem istnieje całka nieoznaczona tej funkcji na R. Całkę tą obliczamy osobno na każdym z przedziałów (-oo,0|, [0,1|, (l,oo) i otrzymane funkcje odpowiednio „sklejamy". Dla x £ (-oo,0) mamy

■jT* J |x³ - *| dx = jy^+Cl'

dla x 6 [0,1| mamy

■ET. /|x²-x| dx =    +    Jj9

a dla [1, oo) mamy

J |x^a - *| dx = J    <** f Jjj T

Stale Ci, Cj, Ca należy zatem dobrać tak, aby funkcja

_ El -i- Ci dla x 6 (-oo, 0),

3 •?>_ ¹ i

F(x) = /    _ — + Ca dla x 6 |0, l|,

fi_£_ + Cs dla x 6 (l.oo)

3    2