DSCN1078 (2)

Rozwiązać równania:

a) f(n) = 30, b) f(n) = 58, c) f(n) = 97.

2.17.    Dla jakich wartości parametrów a, b. c żadna z funkcji f:R -+R i g: R -* R określonych wzoVami f(x) = ax + b, g(x) = cx² nie jest funkcją tożsamościowo równą zeru i złożenie tych funkcji jest przemienne?

2.18.    Rozwiązać nierówność f(x) ^ 5 wiedząc, że funkcja f: R -*■ R jest funkcją okresową o okresie s — 6 i w przedziale < —3;3> jest określona wzorem

f(x) = 9 - x².

2.19.    Wykazać, że jeśli funkcja /określona wzorem

f(x) = ax² + bx + c, gdzie a =£0 spełnia warunek af(a) < 0, dla pewnego a eR, to / ma miejsca zerowe.

2.20.    Wykazać, że jeśli funkcja /określona wzorem

f(x) — ax² + bx + c, gdzie a ± 0 ma dwa różne miejsca zerowe, to należą one do przedziału (a;P) wtedy i tylko wtedy, gdy

ąf(a)>0 i af{P)> 0 i ~e(a;P).

2a

2.21.    Załóżmy, że funkcja f(x) = ax² + bx + c, gdzie a =£0 ma miejsce zerowe.

Wykazać, że:

1) Jeśli dla pewnego a <--mamy af(a) > 0, to miejsca zerowe

2a

funkcji/należą do przedziału (a;co).

2)    Jeśli dla pewnego a > — — mamy af(ot) > 0, to miejsca zerowe

2a

funkcji /należą do przedziału (—oo; a).

2.22. Znaleźć wszystkie równania kwadratowe postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a, b, ce C i a =£0, z których każde ma dwa różne rozwiązania:    = a, x₂ — b.

2.23.    Funkcje /, g są określone na przedziale <— 1; 1> wzorami:

f(x) — |ax² + bx + c|, g{x) = \cx² — bx + a\, gdzie a, b, ceR.

Wykazać, że jeśli zbiorem wartości funkcji / jest przedział <0 ;1>, to zbiór wartości funkcji g zawiera się w przedziale <0 ;3>.

2.24.    Rozpatrujemy rodzinę F funkcji f_a:R~* R określonych wzorem f_a(x) = ax²{x — 1) — |x|(x 4- a) dla aeR.

Wśród funkcji należących do rodziny F wskazać funkcje:

1)    których zbiór wartości zawiera się w zbiorze i?₊u {0},

2)    monotoniczne w R.

2.25.    Zbadać czy istnieje dodatnia‘liczba naturalna p i wielomian W o współczynnikach całkowitych takie, że

W{p) = p+ 1 i W(p + 1) = p + 2 i W{p + 2) = p.

2.26.    Zbadać czy istnieje wielomian W trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych taki, że

W{ 1) = 2 i W(2) = 3 i W( 3)«1.

2.27.    Znaleźć wszystkie pary p, q liczb całkowitych takie, że wielomian W określony wzorem

W(x) =\-2x-9x² + x³ spełnia warunki: W(p) — q i W{q) = p.

2.28.    Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ^ 1 istnieje wielomian W stopnia n o współczynnikach całkowitych taki, że W[2) = 7 i W(5) = 13.

Wskazać wielomian stopnia 2 i wielomian stopnia 3 spełniający warunki zadania.

2.29.    Znaleźć wszystkie wielomiany ^spełniające dla każdego x, yeR, następujące dwa warunki:

^(0) = 2,

W(x + y)= W{x) + W{y) + 2xy - 2.

2.30.    Funkcja/- R ->R jest funkcją okresową o okresie s = 6.

13