474 2

474

12. Rozwiązania zadań

4. (a) Utworzyć i porównać Ax i )jg. Dla wielokrotnej wartości własnej istnieje tylko jeden wektor własny.

(b)    iRównanie charakterystyczne: /.²⁰=-c_ao. Dla a_ao=0 jest A=0. Dla a₃₀«= -2⁴⁰ jest A=0.25exp(2rcip/20) (/> =0,1..... 19).

(c)    Niebezpieczeństwo występuje dla wartości własnej o dużej krotności. Niech równaniem charakterystycznym będzie (A-l)²⁰ = e, tzn.

Porównać wartości dla c=0 i £=2**⁴⁰.

5. (a) Wskazówka. Pokazać najpierw, że tak jest dla A = £, a potem użyć związków

6V"V=1, (ABC)"=C^hB"A^u.

(b) Zauważmy, że A'A = /_r AA¹ = A(A^uA)~^,A^},i stąd {AA^x)^H=A{A^BA)"^yA^M.

(c) W^T tym przypadku

= *7>*²[D 0]^/^H=>^^,.

6.    (a) Wobec (5.2.4) jest x^l=x^H/(x^Hx).

(b) B=Aⁿ. Stosujemy (5.2.5) i (5.2.4). Wynik: B^l =

7.    (a) Postępujemy jak w zadaniu 5.

(b) Rząd iloczynu nie może przewyższać rzędu żadnego z czynników. A^lA-I<=> =*rank(A^lA)=n=>r^n. Ponieważ r^min{m,«}, więc r=n. Odwrotne wynikanie sprawdzono w’ zadaniu 5 (b). Drugą własność otrzymuje się przez transpozycję pierwszej.

8.    (a) Z (5.2.4) wynika, ic A¹ = A~¹ (A^B)~*A^H=A~*.

(b) A = (I, 1)^T, <7—(l,0)_t <7.4=1, 4<?=jj    . a to nie jest macierz hermitowska.

9.    (a) A—(1, I), B=(3, 4)¹. (AB)^l = Ą. Z zadań 6 (a), (b) wynika, że    l)^Ts

(b) Z zadania 7 (b) wynika, że A^lA = BB^x = I. Sprawdzamy, żc (5.2.3) jest prawdziwe dla A: = AB, G: = B^lA^l, ABB^lA^lAB^ AUB, wobec tego piferwszy związek z (5.2.3) jest poprawny. Pozostałe sprawdza się podobnie — np. AG=ABB^lA^l= AA¹; ten iloczyn jest hermitowski.

10. (a) Zob. (5.2.3).

(b)    Pⁱ = A(A^lAA^l)=AA^,=P.

(c)    Istnieje ze R_n takie, że x—Az. P.v=AA^,Az=Az=x.

(d)    Wobec (c) x = Px. x^H(y-Pf)=x^HP^H(l-P)y=x*^,P(/-P)y = 0.

1. (a) x=-(obⁿ"²,oó"'³.....ab, a, -i)^T, 6 = 1 -a.

(b) Przypuśćmy, że |x,|<2^fl-i“^l. Ponieważ |x„| = l, |x_ff_j|<l, więc jest tak rzeczywiście dla i-n—l. Prócz tego

Y.    S |x*(< 1 +1+2+...+2* ‘ ¹ — 2* ¹