482 2

482

12. Rozwiązania zadań

i używamy metody Gaussa-Seidela, tj. ostatniego przybliżenia każdej składowej z _x Z dokładnością do czterech cyfr ułamkowych jest

x=(0.4658,0.4378.0.4644.0.4691,0.4422,0.4750)^T.

3. (a) Z wzoru iteracyjnego wynika, że dla k^O jest

I-AX_k+1~f-AX_k-AX_k(I-AX_k)=(I-AXJ²,

vrięc

I-AX_k=(r-AX₀)²'.

Nierówność p(I—AX₀)< l jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, żeby było

lim (f-AX₀)²*x=O

k—OO

dla każdego wektora .r, co jest równoważne temu, że

0= lim (I—AX₀y

fc—» OO

lim(/—AX_k)_t czyli lim X_k=A'

k-*oo    k—tc

(b) Otrzymujemy

f 1.99 -0.99] _r 1.9999 - 0.9999]

¹ “[-0.99    0.99J* ^Xl [-0.9999    0.9999y

co jest dobrym przybliżeniem dla A~*. 4. Ciąg {V^k>} jest taki, że

z^(k+ł>=(a/+(l-a)fi)z^<*⁾+(l-a)e,

tak że w iteracjach występuje macierz B_a=ał + (1 -a)B o wartościach własnych &(JU~ =a-(l —*)A(fi). Ponieważ ).{B) e [a, b]_t więc

maxp(2?)=max{|a+(l — a)a|, |ct+(l —a)6|} =p_a.

i

Chcemy znaleźć min />,. Powyższe rysunki pokazują funkcję p_a (jej wykres jest nieco i*¹⁰?' gdy I e [a, £>]., niż w przeciwnym razie). Oczywiście w punkcie minimum jest

o+(l -oc)a = ±(o+(l-a) b)=p_x,