DSCN1150 (2)

5.60. Niech punkt O będzie środkiem kuli wpisanej w ostrosłup, wtedy to ostrosłup ABCD]csi sumą mnogościową czterech ostrosłupów;

ABCD, ACDO, BCDO i ABDO.

Stąd

V= n + jS₂r + i$₃r + -S₄r =

—    + S₂ + S₃ + S₄),

gdzie 5,, S₂, S₃, S₄ oznaczają odpowiednio pola trójkątów ABC. ABD, ACD i BCD.

Z drugiej strony wiadomo, że

K— — jS₂h₂ —    ₃h₃ — ^S₄h₄,

i, ■    • U

3i

skąd

, 3V - 3V , 3V , 3K

$4

V

Wobec tego

ć“' ^2 ~ o ' ^3 ~ _C '    ~ C *

+ /.₂+/,₃ + A₄=3fQ- + £ + £ + ^-)-

_V/1 1 1 1\

= r(S₁₊S_{2 +} S_{3 +} S₄)^ _{+ s}- ₊ ^ _{+ 5}-j.

Z nierówności Cauchy*ego wynikają związki

liii

—

1 1 1 i ^s_l ' s₂ ' s₃ s_t

S_lS₂S₃S₄^    4

</■

Po pomnożeniu stronami powyższych nierówności otrzymujemy:

/I 1    1    1\

(S₁₊5_{2 +} ^ ₊ S₄)(- ₊ - _{+ 5}-+g_:j^

16

czyli

(5

₁₊S_{2 +} S, ₊ S₄)(£ + £ + £ + £)>l*

więc

hi -ł- /?2 4*    4* /14. ^ 16r,

co daje tezę.

5.61. Z warunków zadania wynika, że

1) AABS = ABCS s AC AS,    (rys. 5.61) więc

\AB\ = \BC\ = \CA\.

2)    14:SBF\ = 90° - wpisany oparty na średnicy.

Korzystając z twierdzenia: „kwadrat długości przyprostokątnej równa się iloczynowi długości przeciwprostokątnej i rzutu tej przyprostokątnej na przeciwprostokątną”, mamy (rys. 5.61)

|55|² =

Punkt O_t jest spodkiem wysokości ostrosłupa ABCS i pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC, skąd

a stąd po przekształceniach otrzymujemy a — -lŁy/3 (3 — 4sin²a).

5.62. W zależności od miary a kąta EA W (rys. 5.62), gdzie

ae(0°; 90°), wysokość ostrosłupa może być większa, równa lub niniejsza od R. Nie ma to jednak wpływu na metodę rozwiązania. Należy zauważyć, że

\WO\ = 2/? sina, \AO\ = j)AD\,

157