II�la

\!k

Kryterium £mt£ĆS!SS>

Jeżeli granica ciągu V '    istnieje i j est mniej sza od 1, to szereg jest

zbieżny; j eżeli granica taj est większa od 1, szeregj est rozbieżny.

Kryteriumnie przesądzanie o zbieżności szeregu wprzypadku gdy odpowiednia granica (lub grani ca górna) jest równa 1.

KryteriumQ®£MS£9Jest silniej sze niżloyterium^^gjją,-jesTi szereg spełnia warunek kryteriumto spełnia warunek^ale na odwrót.

Kry terium porównaw cze - używamy szeregówhamronicznych!

Jeżeli wyrazy szeregu    spełniają odpewnegoNnierówność a. szeregi- jest

zbieżny, to również szeregi-j est zbieżny (i to - oczywiście - bezwzględnie).

Jeżeli natomiast wyrazy szeregu Jjfa spełniają odpewnegoN nierówność <z, >&> 0 i szereg£^jestrozbieżny, to również szereg    est rozbieżny.

Kryterium zagęszczania - załóżmy, że szereg.j est taki, że ciąg a_s j est monotonicznie malejący, a p jest liczbą naturalną większą od 1. Jeżeli zbieżny jest szereg a&J&C::^t0 zbieżnyj est szereg^-

Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównaw czym w postaci granicznej) Jeżeli mamy szeregi £ą*. JJ^i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) j ednego z nich. oraz 0 < (a* fe^)^<co: to diugi z nich j est tego samego typu.

Ponadto:

Jeżeli    (a_£%)=0i B>d^est zbieżny,to lą^jest zbieżny.

Jeżeli to-*, (^a* W =⁰⁰ i IśU j^est zbieżny, to 5j»j est zbieżny.

Kryterium Leibniz a-jeże// ciąg (a^ spełnianasiępujące dwawarunki:

lim a _n = 0

1.    72—*00

2.    cią g a. j e st niero sną cy (o d p ewnego momentu)

E(-l)"(«»)

to szereg 71 —0    jest zbieżny.

Kry- terium    jeżeli szereg£ą-j est zbieżny, a ciągfl?-)jest monotoniczny i

ograniczony, to szereg.^j^J est zbieżny.

Kry- terium JMkllta-j^eżeli mamy dany szereg p o stad SśUfea* g^²¹⁶ ciąg (a_a) j est monofoniczny i zbieżny do O, zaś ciąg sumczęściowychszeregu^^jest ograniczony, to szereg Z&bj ^est zbieżny.

Zbieżność bezwzględi a-szereg £ą-j est zbieżny bezwzględniej eżeli zbieżnyj est szereg. Jeżeli dany szeregj est zbieżny bezwzględnie, to j est on również zbieżrr,- w normalnym sensie. Jeżeli szeregj est zbieżny, a niej est zbieżny bezwzględnie wtećK^-szeregj est zbieżny warunkowo.

Definicja Heinego granicy wlaściwej funkcji f

lim*-a/CO = 9 ** [Oim_R^x_n = a) -* (lim«,*/(*„) = 5): g<ki* a 6 {xo, xO+, xO-,oo. -cc. g G R.

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji f

li«V-« fOO = A «Vr_n [(lim*_^x_n = a) -» (lim«_*,/(*„) = A]), gdzie a € {xo, xO+, xO-.cc.-cc. zaś A- cc. -30.

Fakt o istnieniu granicy funkcji w punkcie Jeśli istnieją ciągi x_r. x_r spełniające warunki: ajlim*^ x_r = x₀,przy czymx_r = x₀ Vn € N

b)    lim^^ x_n = x₀,przy czymx_n =£ x₀ V n e N

c)    lim_r_^/(x_n ) =£ lim_n^ /(x_n) to granica Iim_n^/(x) nie istnieje.

Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy

Funkcj a f ma wpunkcie xo granicę właściwą lub nie właściwą wtedy i tylko wtedy, gdy lim /(x) = lim f(x)

Wspólna wartość granic jednostronnychj est wtedy- granicą funkcji.