3582308556

Materiały dydaktyczne - Geodezja geometryczna Marcin Ligas, Katedra Geomatyki. Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

Podstawowe Wzory Trygonometrii Sferycznej

Wzory tiygonometrii sferycznej można wyprowadzić na wiele sposobów. W niniejszym konspekcie wykorzystany zostanie rachunek wektorowy do wyprowadzenia dwóch podstawowych wzorów, pozostałe można wyprowadzić na ich podstawie na drodze mniej lub bardziej elementarnych operacji trygonometrycznych oraz na pojęciu trójkątów wzajemnie biegunowych. Obierając kulę o promieniu jednostkowym oraz konstruując na jej powierzchni trójkąt sferyczny zgodnie z rysunkiem poniżej:

Konwencja:

A, B, C - wierzchołki trójkąta sferycznego, tak samo będziemy oznaczać kąty w trójkącie sferycznym.

a, b, c - boki trójkąta sferycznego, bok a leży naprzeciw kąta A itd.

Dostajemy (iloczyn skalamy wektorów normalnych do odpowiednich płaszczyzn, tutaj OAC oraz O AB): _{ragA =} ^xe_a)ę(ę₁x=_a)

|e₁xe₂||e₁xe₃|

^ °[e₂x(ejxe₃)] cos A = -■—■■■ i, -—~ = |^ei xe₂||e₁ xe₃|

_ eosfl-cosccosft sin 6 sin c

e₃ o [ej (e₂ ° e₃)- e₃ (e₂ ° Cj)] _ e, ° [e₂ cos a - e₃ cos b] Jej xe₂|^ej xe₃|    sin&sinc

Analogicznie postępujemy dla kątów przy wierzchołkach B oraz C. Przekształcając, powyższe wzory ze względu na cosinus boku trójkąta sferycznego dostajemy grupę wzorów cosinusowych dla boków.

cos a = cos b cos c + siu b siu c cos A cos 6 = cos a cos c + sin asinccos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Korzystając z pojęcia trójkątów wzajemnie biegunowych, mamy następujące twierdzenia: