60617

Materiały dydaktyczne - Geodezja geometryczna Marcin Ligas. Katedra Geomatyki. Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

Kąty danego trójkąta sferycznego i odpowiadające im boki trójkąta biegunowego dopełniają się do ji, czyli mamy:

A + a'=x B + b'=7T C + c'=;r

Kąty trójkąta biegunowego i dopowiadające im boki trójkąta danego dopełniają się do n:

A'+tf = K B'+b = /r C+c = 7T

Wykorzystując te zależności i wprowadzając je do wzoru cosinusów dla boków dostajemy wzory cosinusów dla kątów:

cos(;r - A) = cos(;r - Z?)cos(/r - C)+sin(/r - fi)sin(;r - C)cos(zr - a)

- cos( A) = cos(fl)cos(C) - sin(#)sin(C )cos(«) cos(/\) = -cos(fl)cos(C)+sin(fl)sin(C)cos(c/)

oraz

cos(fi) =-cos(/\)cos(C)+sin(/\)sin(C)cos(/>)

cos(C) = -cos(/l)cos(£)+sin(i4)sin(fl)cos(c)

Co stanowi kolejną porcję wzorów tym razem cosinusowyclt dla kątów.

Wykorzystując ponownie rachunek wektorowy, sinus kąta (np. A) możemy zapisać z wykorzystaniem iloczynu wektorowego jako:

.    |(e, xe_; )x(e, xe, )|

sin A = —j-=-—

|e,xe₂|e,^xe3

|(e, xe,)x(e, xe,)| = |e, xe₂|e, xe,|sin A = sin^sincsin A Wyrażenie to można również przedstawić jako iloczyn mieszany, a wykorzystując jego przeniienność cykliczną dostajemy ostatecznie:

sinl?sinrsin A = sinesinr/sin B - sin a sin b sin C

Przekształcając powyższy wzór otrzymamy tzw. wzór sinusów:

sin a _ sin b _ sine sin A sin B sinC

Poprzez elementarne przekształcenia wzorów cosinusowych dla boków możemy otrzymać kolejne wzory, np.: